|
36 Серия кривых Лп на рис. 1.3.4. отражает соотношение и к2, удовлетворяющих уравнению (1.3.15) и, таким образом, точно определяет все решения удовлетворяющие граничным условиям. Рис. 1.9 приведен для случая, когда 1Л = 1^/10. Второе соотношение между к\ и к2 представлено на рис. 1.3.4. прямыми линиями В ,С,/) и Е. Тангенс угла их наклона определяется как (Лх/Ь2}2. Линия В, например, соответствует случаю Н0[ = IIо2• Параллельным сдвигом линии В можно добиться любого значения величины —Н§о Решения спин-волнового уравнения находятся как пересечения одной из линий (В,С,0 или Е например) с серией кривых Ап. Количество этих пересечений выражает число мод, возбуждаемых в спектре. Для случая С (//01 — Но2 >0) мода с п=0 имеет вещественное к\ и мнимое к2. Что отвечает ситуации, когда волна распространяется в слое 1 и экспоненциально затухает в слое 2. Т.к. мода п= 0 имеет к\ приближающееся к я/2Ь{, то очевидно что для распространяющейся в слое 1 спиновой волны, условия на границе со слоем 2 будут носить свойства, подобные закреплению. Зависимость т{г) первых трех мод изображена на рис. 1.3.5. (вверху слева). Моды п = 1, 2 и последующие объемные моды, т.к. они имеют вещественный волновой вектор по всей толщине пленки (слои 1 и 2). С увеличением Н01 — Н02, графическое решение для моды п =0 движется от А0 от однородного резонанса ^ = к2 = 0 к моде = я/2Ц, которая уже характеризуется закрепление на границе со слоем 2. То же самое может происходить и с модами более высокого порядка, так например с увеличением 7/0] —//()2, моды п = 1 может стать второй модой со значением /с, = Зя/2/,, . Таким образом, очевидно, что с увеличение //0, — //()2, число мод локализованных в слое 1 растет. Отметим, что для первых мод на рис. 1.3.5. величина т(г) » 0 на границе между слоями. |
38 «* 'V Используя (1.34), (1.55) и (1.56) можно найти выражение для волновых векторов кх и к2 (рассматривается случай, когда = Л2 = А, Л7, =М2 =М): к1^(к1к]) + к2^(к2к2) = 0. (1-57) Из дисперсионных соотношений, записанных для каждого из слоев следует, что —(41-к!) = Н0\-Н02. (1.58) В этом выражении величины Н0/ = со!у — /// поля однородного резонанса в слоях, / = 1,2 номер слоя. Совместное решение уравнений (1.57) и (1.58) позволяет определить возможные значения волновых чисел к в каждом из слоев. Одним из вариантов является графическое решение, часто используемое для уравнения Ш редин гера. Серия кривых Ап на рис. 1.9 отражает соотношение к^ и к2, удовлетворяющих уравнению (1.57) и, таким образом, точно определяет все решения удовлетворяющие граничным условиям. Рис. 1.9 приведен для случая, когда 7, = —. Второе соотношение между кх и к2 представлено на рис. 1.9 прямыми линиями В,С, О и Е. Тангенс угла их наклона определяется как . Линия В, например, соответствует случаю //01 = //02. Параллельным сдвигом линии В .можно добиться любого значения величины И о! —//02. Решения спин-волнового уравнения находятся как пересечения одной из линий (В,С уО или Е например) с серией кривых Ап. Количество этих пересечений выражает число мод, возбуждаемых в спектре. Для случая С (770, — //02 > 0) мода с п =0 имеет вещественное к\ и мнимое к2. Что отвечает ситуации, когда волна распространяется в слое 1 и экспоненциально М 40 I* затухает в слое 2. Т.к. мода п = 0 имеет кх приближающееся к * тоочевидно что для распространяющейся в слое 1 спиновой волны, условия на границе со слоем 2 будут носить свойства, подобные закреплению. Зависимость /77 (г) первых трех мод изображена на рис. 1.10 (вверху слева). Моды /7 = 1, 2 и последующие объемные моды, т.к. они имеют вещественный волновой вектор по всей толщине пленки (слои 1 и 2). С увеличением Но — //02, графическое решение для моды /7=0 движется от Л0 от однородного резонанса кх = к2 = 0 к моде кх = » которая ужехарактеризуется закрепление на границе со слоем 2. То же самое может происходить и с модами более высокого порядка, так например с увеличением Н0] — И02, моды /7 = 1 может стать второй модой со значением кх = • Такимобразом, очевидно, что с увеличение Нох — Н02, число мод локализованных в слое I растет. Отметим, что для первых мод на рис. 1.10 величина /77(г) ~ 0 на границе между слоями. Соотношение, определяющее позицию моды от квадрата ее номера п = 1,2, 3 ... имеет вид: 2А М V П7Г т V2 (1.59) где / = 1,2 номер слоя. При изменении знака //0, — //02, что имеет место, например, при изменении ориентации поля Н с перпендикулярной на параллельную относительно пленки, вначале первые моды, а затем и последующие становятся гиперболическими уже в первом слое и объемными во втором (случай Е) (рис. 1.9.). То есть спектры СВР, возбуждение которых обусловлено динамическим механизмом закрепления спинов, являются сильно анизотропными, что связано с зависимостью области возбуждения гармонических стоячих спиновых т к « к I \ Серия кривых Ап на рис. 3.1 отражает соотношение кх и ^2*УД°вле‘ творяющих уравнению (3.9) и, таким образом, точно определяет все решения удовлетворяющие граничным условиям (3.6) и (3.7). Соотношение между ЛГ и к2, соответствующее уравнению (3.10) представлено на рис. 3.1 прямыми линиями В,С и О. Линия С, например, соответствует случаю 7/0, = И02 • Решения систему уравнений (3.9), (3.10) находятся как пересечения одной из линий (В,С у или О например) с серией кривых Ап. Количество этих пересечений выражает число мод; возбуждаемых в спектре. Для случая О (//01 Н02 >0) мода с п =0 имеет вещественное к} и мнимое к2. Что отвечает ситуации, когда волна распространяется в слое 1 и экспоненциально затухает в слое 2. Так как мода /7=0 имеет кх приближающееся к Ути,'то 82 очевидно что для распространяющейся в слое 1 спиновой волны, условия на границе со слоем 2 будут соответствовать условиям закрепления. При изменении знака Н0] —//02, что имеет место, например, при изменении ориентации поля к! с перпендикулярной на параллельную относительно нормали к пленке, вначале первые моды, а затем и последующие становятся гиперболическими уже в первом слое и гармоническими во втором (случай В на рис. 3.1). Из рис. 3.1 видно, что на решение сильное влияние оказывает величина параметра У. Все возможные решения находятся в интервале значений У, соответствующих случаю изолированных друг от друга, невзаимодействующих слоев (У <2.5x10”6) и случаю жесткой межслойной связи (У > 1хКГ4). Легко видеть, что для значений У <2.5x10-6 уравнение (3.9) соответствует резонансным условиям для невзаимодействующих слоев и определяет значения волновых чисел СВ-мод в виде: |