|
Термин «фазовая траектория» обычно подразумевает, что соседние точки множества для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса исследователь может получить через наблюдения, опираясь на замечательную теорему Такенса если система, которая порождает временной ряд, является празмерной, и обеспечено выполнение неравенства р > 2п +1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффеоморфизм [109] между фазовыми траекториями и истинными данными, порождаемыми системой. Этот замечательный результат позволяет делать выводы о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информацию для прогнозирования этого поведения. В отличие от наиболее изученных дифференцируемых динамических систем в настоящей работе рассматриваем эволюционные процессы, которым присуще дискретное изменение наблюдаемых показателей во времени, т.е. изменения, происходящие в определенные промежутки времени (скачки). В этом случае соответствующее фазовое пространство является дискретным, а упорядоченная во времени последовательность значений наблюдаемого процесса называется временным рядом. Если эволюционный процесс, точнее, изменение во времени его состояний подчиняется некоторым вероятностным закономерностям, то его принято называть стохастическим процессом. В процессе моделирования временных рядов методами нелинейной динамики (теории хаоса) [109], по-видимому, наиболее важным вопросом является вопрос о том, содержит ли траектория рассматриваемого временного ряда аттрактор (странный аттрактор) [110,111]. Для обоснования ответа на этот вопрос к настоящему времени разработан ряд алгоритмов и тестов (вычисление корреляционной размерности, максимального показателя Ляпунова, Кэнтропии Колмогорова, BDS-тест, тест остатков Брока), общее описание которых можно найти в [110]. Вышеуказанные методы получили название 48 |
Термины «фазовый портрет» или «фазовая траектория» обычно подразумевают, что соседние точки множества (1.4) для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса (1.4) можно получить через наблюдения (1.5), опираясь на теорему Таккенса [21]: если система, которая порождает временной ряд, является п размерной, и обеспечено выполнение неравенства р >2л+1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Этот результат позволяет делать выводы о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информацию для прогнозирования этого поведения. Особого внимания заслуживают «кусочно-полиномиальные» подходы к представлению фазовых траекторий. Среди этих подходов наиболее перспективным является использование сплайн функций [46,127]. Отличительная особенность сплайнов заключается в том, что они состоят из отрезков степенного полинома малого порядка (степени). Эти отрезки сходятся в заданных узловых точках процесса (узлах решетчатой функции). Необходимой составной частью такого подхода является «сшивка» кусков сплайн-функции значениями самой функции и значениями ее производных. Такая структура сплайна автоматически собирает его отдельные фрагменты в единый ансамбль. На рисунках 1.6 1.8 с иллюстративной целью представлены фазовые инфляционные сплайн-портреты. Они демонстрируют удивительно стабильно сохраняющуюся цикличность, периодичность инфляции в разные годы как стабильного процветания (1975-1988 гг.) экономики США, так и «смутных» времен (1929-1949 гг.). В англоязычной литературе термин 5р1те-5тоо1Ып§ переводится как «сплайн-сглаживание» и подчеркивает ограниченность применения сплайнфункций только для построения интерполяционной кривой на дискретном множестве точек (рисунок 1.8). Однако в работе [46] автор показал, что на самом деле сплайны при моделировании, анализе и прогнозе экономики мо Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным уравнением 2 м / = 1,2,.... (3.1) Здесь 2 ( это вектор из п компонент, где п может быть очень большим числом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. Функция Р в (1.3) переводит систему из одного момента времени в следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин г,, 1 =1,2,...,Т. Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией г, =Л(2,). (3.2) Будем называть функцию к «функцией наблюдателя». Временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [55,90,92,93]. Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траектории [58,90], или, в другой терминологии, фазового портрета [45] размерности р \ Фр(5)= г,. 1= 1,2,--Т . (3.3) Термины «фазовый портрет» или «фазовая траектория» обычно подразумевают, что соседние точки множества (3.3) для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса (3.1) исследователь может получить через наблюдения (3.2), опираясь на замечательную теорему Таккенса [21]: если система, которая порождает временной ряд, является п размерной, и обеспечено выполнение неравенства р > 2п + 1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффеоморфизм [90] между фазовыми траекториями и истинными данными, порождаемыми системой. Этот замечательный результат позволяет делать выво93 ды о поведении системы, опираясь на данные наблюдений, и, более того, получать информацию для прогнозирования этого поведения. В отличие от наиболее изученных дифференцируемых динамических систем в настоящей работе рассматриваем эволюционные процессы, которым присуще дискретное изменение наблюдаемых показателей во времени, т.е. изменения, происходящие в определенные промежутки времени (скачки). В этом случае соответствующее фазовое пространство является дискретным, а упорядоченная во времени последовательность значений наблюдаемого процесса называется временным рядом. Если эволюционный процесс, точнее, изменение во времени его состояний подчиняется некоторым вероятностным закономерностям, то его принято называть стохастическим процессом. Особого внимания заслуживают «кусочно-полиномиальные» подходы к представлению фазовых траекторий. Среди этих подходов, вероятнее всего, наиболее перспективным является использование сплайн функций [46,127] или, кратко, сплайнов. Отличительная особенность сплайнов заключается в том, что они состоят из отрезков степенного полинома малого порядка (степени). Эти отрезки сходятся в заданных узловых точках процесса (узлах решетчатой функции). Необходимой составной частью такого подхода является «сшивка» кусков сплайн-функции значениями самой функции и значениями ее производных. Такая структура сплайна автоматически собирает его отдельные фрагменты в единый ансамбль. 3.2 Фазовые портреты исходных временных рядов котировки акций В процессе моделирования временных рядов методами нелинейной динамики (теории хаоса) [21,145], по-видимому, наиболее важным вопросом является вопрос о том, содержит траектория рассматриваемого ВР аттрактор (странный аттрактор) [21,145]. Для обоснования ответа на этот вопрос к настоящему времени разработан ряд алгоритмов и тестов (вычисление корреляционной размерности, максимального показателя Ляпунова, К-энтропии |