|
следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин z,, / = 1,2......Г. Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией z,=h(Z,). (2.30) Будем называть функцию h «функцией наблюдателя». Временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [46,78,95,97]. Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траектории [78,90] размерности р: d>,(z)= Здесь число М представляет собой размерность фазовой траектории, которая определяется в виде множества Фд, (Z) = {(z,,z/+...Z/+4,_,)}, i = l,2..... Н-Л/ + 1. (2.32) В настоящей работе мы ограничимся фазовой траекторией размерности М = 2, в частности, для временного ряда Z он определяется выражением O2(z)=[(z„z,+1)}, і = 1,2,...,п-1. (2.33) В целях визуализации на рисунках 2.32 и 2.33 дано графическое представление фазовых траекторий отрезка временных рядов (2.7) и (2.9). 86 |
(экономической, технической, социальной, экологической и т.д.), снабженной определенной структурой в зависимости от рассматриваемых задач и поставленных целей. С математической точки зрения фазовое пространство это множество с надлежащей структурой, элементы которого (фазовые точки) представляют (условно изображают) состояния системы. Чаще всего не делается различия между состояниями и изображающими их фазовыми точками в силу имеющего место изоморфизма между ними. При исследовании эволюционного процесса исходной информацией является временной ряд, т.е. упорядоченная последовательность наблюдений за значениями некоторого показателя. При этом число переменных, определяющих поведение процесса, и тип функции, описывающий это поведение, заранее неизвестны. Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным уравнением Здесь X, это вектор из п компонент, где п может быть очень большим числом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. Функция Р в (1.4) переводит систему из одного момента времени в следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин х,, I = 1,2,...,Т. Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией Будем называть функцию к «функцией наблюдателя». Временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [52,90,92,93]. Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траектории [58,80], или, в другой терминологии, фазового портрета [110] размерности р \ (1.4) (1.5) Пусть эволюционный процесс определяется векторным итерационным уравнением 2 м / = 1,2,.... (3.1) Здесь 2 ( это вектор из п компонент, где п может быть очень большим числом и обычно включает много переменных, о которых мы ничего не знаем. Функция Р в (1.3) переводит систему из одного момента времени в следующий, вид ее тоже неизвестен. Исследователь наблюдает временной ряд скалярных величин г,, 1 =1,2,...,Т. Наблюдения генерируются в соответствии с некоторой функцией г, =Л(2,). (3.2) Будем называть функцию к «функцией наблюдателя». Временной ряд образует траекторию, которая является плотной на аттракторе [55,90,92,93]. Для получения сведений об исходной системе нам нужен некоторый способ, с помощью которого мы сможем возвращаться от наблюдаемой к исследуемой системе. Этот способ осуществляется путем построения фазовой траектории [58,90], или, в другой терминологии, фазового портрета [45] размерности р \ Фр(5)= г,. 1= 1,2,--Т . (3.3) Термины «фазовый портрет» или «фазовая траектория» обычно подразумевают, что соседние точки множества (3.3) для наглядности соединены отрезками прямой или кривой линии. Объективную информацию о характере поведения эволюционного процесса (3.1) исследователь может получить через наблюдения (3.2), опираясь на замечательную теорему Таккенса [21]: если система, которая порождает временной ряд, является п размерной, и обеспечено выполнение неравенства р > 2п + 1, тогда в общем случае фазовые траектории воссоздают динамику исследуемой системы. Существует диффеоморфизм [90] между фазовыми траекториями и истинными данными, порождаемыми системой. Этот замечательный результат позволяет делать выво93 |