|
100 Подобные ряды Фурье обладают свойством повышенной сходимости и допускают возможность почленного дифференцирования. Сделаем замену неизвестных функций: г Л & £ 1 , u-Z&U Г АГ7 , (Z,W)eC^(0 Так как функции Т и U при г — 0 ограниченные по условию (2.34), что > также согласуется с физическим смыслом задачи, то из (2.35) следует: Z(T,r)\r=0=W(T,r)l=0=0. (2.38) Таким образом, задача сводится к нахождению решения системы (2.37), удовлетворяющие граничным условиям (2.32), (2.38) и начальным условиям (2.33). Сложность данной начально-краевой задачи заключается не только в системе (2.31), но и постановке граничных условий различного рода при г = 1 |
критерии Био соответственно Biq = aR/A, Bim = /3R/am . Для решения задачи (2.1)-(2.3) будем использовать метод разложения неизвестных функций по модифицированным рядам Фурье, разработанный профессором А.Д. Чернышовым [96]. Подобные ряды Фурье обладают свойством повышенной сходимости и допускают возможность почленного дифференцирования. Сделаем замену неизвестных функций: Г = £ ( 1 ^ > £ / = В1^),( 2 , Ж ) б С (з) ( о< г < 1 ). Г Г (2 .5) ^ d2Z 2 dZ AZ = — = " + — , дг г дг л d2W AW =—г дг лттг + 2 dW ~~^~г дг Вычислим частные производные: dT__ldZ__Z_ дг дг г дг г дг 2 г c?T_]Ld^ZL_2LdZ_ ' 2 , г Z^ 3 г дг2 дг2 г дг2 г or2 г2 дг 2 dW г2 дг ' 3 г (2.6) dU _ 1 dW W d2U _ 1 d2W W_ С помощью (2.6) система (2.1) относительно Z и W принимает более простую форму: dZ дт л d2Z дг А d2W дг 2 dW дт . d2W дг 2 л d2W дг 2 ,_ „ с граничными и начальными условиями: dZ(r,r) дг dW(r,r) дг + a i [ l Z ( r , 0 ] , = : 1 -a2[w(r,t)\r=l -ир/и0]=0, +ир/и0]=0, + b{[l-Z(r,t)\=l , +b2[w(r,t)\r^ Z(0,r) = 0, W(0,r) = r. Так как функции Т и U при г — О ограниченные по условию (2.4), что > также согласуется с физическим смыслом задачи, то из (2.5) следует: Z(T,r)\r=0=W(T,r)\r=0=Q. (2.8) 41 Таким образом, задача сводится к нахождению решения системы (2.7), удовлетворяющие граничным условиям (2.2), (2.8) и начальным условиям (2.3). Сложность данной начально краевой задачи заключается не только в системе (2.1), но и постановке граничных условий различного рода при г = 1 условия смешанного типа (2.2), при г = О условия Дирихле (2.8). Если бы решение было найдено, то на сферической границе зерна при г = 1 функции Z и W принимали бы некоторые значения: 2 г в 1 = р ( г ) , W\r=l=y/(T), где (р{т), у/(т)— пока неизвестные функции. Применяемый модифицированные ниже ряды метод Фурье разложения позволяет неизвестных заменить функций в (2.9) сложную форму граничных условий (2.2) на более простые и удобные условия (2.9). Это приводит к упрощению граничных условий, но при этом появляются новые две неизвестные функции <р(т), у(т), которые впоследствии будем находить при выполнении граничных условий (2.2). Возникает следующая новая задача: найти решение системы (2.7) с начальным условием (2.3) и граничными условиями (2.8) и (2.9), где неизвестные функции (р(т), у/(т) следует определить так, чтобы выполнялись граничные условия (2.2). При такой постановке решение задачи можно представить следующими улучшенными рядами Фурье: Z = M=+T, 777=1 СО Zm(T)sm(m7rr), (2.10) W = MW+ £ Wm(r)sm(m7rr). m=l Используемые здесь слагаемые Mz и Mw перед рядами Фурье называются граничными функциями, которые имеют специальный вид [78]: f 2 М. =<р(т)г+—Y дг Mw=i//(T)r+—T -=ov ^r2 r=0 T~3 J + dr' r r 3 г г Л d2Z V 'r3 r Л .=iv б " " б or 2~~~6~ 42 + d2W drd ,-iV* 6 v |