|
102 то зависимости Mz и Mw принимают вид: ( 2 М2=(р(т)г+(р0(т) М„=у/(т)г+1//0(т) г г3 6 2 Г Г гЛ 3 3 Г V + <р (т) х 6 г 6 \ ( Л ч 2 6 3 + щ(т) V г 6"~6 Конструкция граничных функций Mz и M w устроена так, чтобы разложения (2.40) равномерно сходились внутри отрезка ге[0,\], и на его грани цах вместе со вторыми частными производными по радиусу г до второго порядка включительно. Выражения для Z и W в (2.40) таковы, что вместе со вторыми частными производными при г = 0 и г = 1 обращаются в тождества. Это свойство позволяет дважды почленно дифференцировать разложения (2.40) и подставлять их в дифференциальные уравнения (2.37), начальные условия (2.33) и граничные условия (2.38), (2.39) или (2.32). Таким образом, разложения (2.40) с выражениями для Mz и Mw представляют модифицированные ряды Фурье. Их сходимость имеет порядок (яти) , где m порядковый номер слагаемого в суммах системы (2.40). Функции Z и W в виде (2.40) удовлетворяют граничным условиям (2.38) и (2.39) и выражены через неизвестные функции времени <р(т), ср0(т), Пере численные неизвестные найдём, выполняя дифференциальные уравнения (2.37), начальные условия (2.33) и граничные условия (2.38). Для этого подставим Z и W из (2.40) в систему (2.37): ( 2 <р(т)г + <р0(т) ?__г} 6 3 1 6 °° m=l = 4 i <р0(т)(\ -r) + q\(r)r m=\ -^jZm(T)m 7T sm(m7i:r) + )m27r2s'm(m7rr ) (2.41) 2 2 +A12 y/Q(r)(\ -r) + ц/х(т)г -^Wm(t m-\ |
Если ввести обозначения dZ <Ро(*) = 1 2 дг dZ > Выражения для Z и W в (2.10) таковы, что вместе со вторыми частными производными при г = 0 и г = 1 обращаются в тождества. Это свойство позволяет дважды почленно дифференцировать разложения (2.10) и подставлять их в дифференциальные уравнения (2.7), начальные условия (2.3) и граничные условия (2.8), (2.9) или (2.2). Таким образом, разложения (2.10) с выражениями для М2 и Mw представляют модифицированные ряды Фурье. Их сходимость имеет порядок суммах системы (2.10). Функции Z и W в виде (2.10) удовлетворяют граничным условиям (2.8) и (2.9) и выражены через неизвестные функции времени ср(т), <р0(т), (р\{т), у/(т), I//Q(T), {жт) , где тпорядковый номер слагаемого в у/\{т) и коэффициенты Zm(г), Wm{r), m = 1,2,... Перечисленные неизвестные найдём, выполняя дифференциальные уравнения (2.7), начальные условия (2.3) и граничные условия (2.2). Для этого подставим Z и W из (2.10) в систему (2.7): ( |