|
247 Решение задачи (7.10)—(7.12) получено в общем виде [11], которое в безразмерной форме имеет вид: е= 1+-2Fo Г и 1 erf с х у Х 1 2,[FOX 1 ^7t • Fo r f •ехр 1 Л v WoxJ , (7.13) = f erjcFox 2^Fo~x l 2 4л-Fo, •exp 1 ^ 4Fo xj ост .. , „ t-tо где Fox = — — критерий Фурье; Q = обобщенный температурный па2 х b-т раметр; G = дх Ь-т обобщенный параметр градиента температуры; х координаты расстояния от источника теплоты; т время действия процесса самосогревания; erfcy/ = -j=\4/e 1 (-00 w -dy (7.14) дополнительный интеграл вероятностей. В производственных условиях будет производиться измерение повышения температуры А г от очага самосогревания в контролируемой точке проdt _ странства, и расчет градиента температуры — . Поэтому переидем к размерЭх ной dt Эх форме ^в-т , то записи решения задачи. Так, как At = t -t0 = e -т -Q и — = -Сг х Г At = e-r v 1+ ( 1 Л 2F„ ox j erfc 2 ( •ехр 4^о~х 4 ' ox 1 n F 1 AF Л (7.15) V oxJ dt дх _в-т х 4 ox n F ехр к 4F0X; F. f erjc l ox 2Д ox (7.16) J Б. В период времени т > т2 действует источник теплоты с постоянной температурой tn = const. Дифференциальное уравнение задано в виде (7.9), начальное и граничные условия заданы выражениями |
Задача А. Источник теплоты задан температурой поверхности / п . В интервале времени тх < г < г 2 действует источник тепла с линейным повышением температуры tn=b-r. ниями: Начальное условие и краевые условия задаются выраже i=o='o; t\ „ =tn +bz, (з.п) dt dx t\ X= = = 0, oo (3.12) In. Решение уравнений (3.10)—(3.12) представлено в общем виде [11]. Решение задачи может быть получено различными методами, например, методом интегральных преобразований Лапласа [43, 46]. Применение данного метода для решения задачи теплопроводности приведено в Приложении Б. В безразмерной форме решение имеет вид: 1 Q= 1+ 2Fo X G= at 1 erfc J 1 2д/^7 1 л/я"' F °x exp 1 4Fo X M J Fox •erfc 1 2 f (3.13) " 2jFb~x 4n • Fox •exp — AFo xj обобщенный температурный паb-т где Fox = —— раметр, G = dt dx критерий Фурье, Q = b't — обобщенный параметр градиента температуры; х — ко ординаты расстояния от источника теплоты, т время действия процесса само2 °° _ 2 согревания, с, erfcy/ = -j=\e ^ -d\j/ -дополнительная функция ошибок Гаус•4 71 0 са, Ъ скорость изменения температуры, К/с. В производственных условиях будет производиться измерение повышения температуры Лт от очага самосогревания в контролируемой точке про 71 d t гт странства, и расчет градиента температуры — . Поэтому переидем к размерной дх форме записи решения задачи [43, 46, 73]. dt Ъ-т Так, как At = t -10 => At = Ъ • т • Q и — = -G , то: дх х Г С 1 ^ 1 1 At = Ъ-т 1 + erfc •ехр F 2 Ж р 2Fo х) v * °xJ л[Р°х~ 4 °х dt Ъ-т ( (3.14) дх х 4 ' °у п р ехр 1 4FoXJ 1 f l V Fo erfc 2 V^ (ЗЛ5) Задача Б. В период времени т > т2 действует источник теплоты с постоянной температурой tn = const. Дифференциальное уравнение задано в виде (3.10), начальное и граничные условия заданы выражениями: '1г=0-'0> 41х=0 -='п> dt дх Jt=00 t . (3.16) = 0,. 0 (3.17) Решение задачи в безразмерной форме [11] имеет вид: Q = \erfc 1 2V^7' G= 1 ^ ж Fo ехр AFo xj (3.18) _ а(т-т2) „ где Fc^ = — — Y ~ ^ ~ критерии Фурье, Q параметр, G х t0-tn dt дх t-U Ч ~n f обобщенный температурный обобщенный параметр градиента температуры. (dt/dx) Величина повышения температура At и градиент температуры определяются в результате преобразования выражения (3.18): At = (t0-ti)-erfc 1 24FTX 72 |