|
случае самоподобных кривых [76]. Большинство же рассматриваемых временных рядов изменений технических параметров эксплуатации технических систем представляют собой самоафинные кривые, размерность которых определяется покрытием её прямоугольниками с размерами £а х еь соотношение сторон которых ахЬ определяется нетривиальным образом с учетом соотношения временных масштабов и масштабов изменения измеряемых величин. Второй величиной, характеризующей фрактальные свойства временных рядов, является показатель Херста [83], который количественно характеризует меру упорядоченности амплитуд измеряемого параметра во времени. Для ею определения обратимся к следующей процедуре [6]. Выделим из исходной выборки A1,A2i...,An массивы данных (Ак, Ак+1,..., A+m-iX содержащие т последовательных замеров исследуемого параметра А (к = 1,2,..., N — т + 1). Определим по каждому из этих массивов размах Ек ~ Етах ~ Emin Етах = ,max Мк) L Emin = minm -Мк) где Мксреднее по выделенному массиву значение А: 1 Ш М к : =mTJ A k + i-1 i=1 Рассмотрим приведенное значение размаха (нормированный размах), осредненного по всем массивам объема т: к = 1 где г число массивов объема т, Sk стандартное отклонение, определяемое по формуле 73 |
116 Начиная с некоторой точки М0 кривой, проводят дугу радиуса 8j до пересечения с ней в точке М[. Далее, из точки Mj проводят такую же дугу до пересечения с кривой в точке М2 и т.д. По количеству засечек на кривой определяют длину ломаной линии L(ei), аппроксимирующей кривую. Затем раствор циркуля уменьшают и находят длину ломаной Це2) и т.д. При не слишком малых е длина L зависит от е степенным образом : L(e)~l/8vl. Показатель V, определяемый по углу наклона прямой в координатах InL 1пе, и определяет размерность Хаусдорфа: D= Vj+1. На практике размерность Хаусдорфа удобнее определять путем покрытия кривой квадратами с уменьшающейся стороной е. Подсчитав число N(e) квадратов exe, необходимых для покрытия кривой, рассматривается зависимость N(e) от е. Для фрактальных кривых при малых в ассимптотически выполняется соотношение [76, 83]: N(e)=C/eD, (3.9) или lnN=InC-D'Ins. Размерность Хаусдорфа можно определить по углу наклона зависимости InN от In г. Впрочем, покрытие кривой квадратами дает верный результат только в случае самоподобных кривых [76]. Большинство же рассматриваемых временных рядов изменений технических параметров эксплуатации технических систем представляют собой самоафинные кривые, размерность которых определяется покрытием её прямоугольниками с размерами еа х8Ь, соотношение сторон которых а:Ь определяется нетривиальным образом с учетом соотношения временных масштабов и масштабов изменения измеряемых величин. Второй величиной, характеризующей фрактальные свойства временных рядов, является показатель Херста [83], который количественно характеризует меру упорядоченности амплитуд измеряемого параметра во времени. Для его определения обратимся к следующей процедуре [6]. 117 Выделим из исходной выборки Аь А2, ...» AN массивы данных (Ак, Ак+Ь Ак+т.), содержащие т последовательных замеров исследуемого параметра А(к=1,N-m+1). Определим по каждому из этих массивов размах Rk=Emax-Emin, (ЗЛО) где Е m,v = шахшах , _..IsLSm Е~ “SS. Z ( A k + H M k ) L ) ( L N E ( A k + H M k ) V JeI (ЗЛ1) где Mk среднее по выделенному массиву значение A: (ЗЛ2) Рассмотрим приведенное значение размаха (нормированный размах), осредненного по всем массивам объема т: 'R4 \ 1 г ( к Л = Е __к_ ,s. 'т Г k»I^ , (ЗЛЗ) где г число массивов объема т, Sk стандартное отклонение, определяемое по формуле: (ЗЛ4) |