|
141 где (0,7] ] . Заметим, что, по теореме о среднем значении и в силу непрерывности интегрируемых функций, существует такое значение при котором данное приближённое равенство (4.31) становится точным. Далее получаем (4.32) откуда, учитывая, что (р^ -> 0 при л -» 0 , следует (4'33) Займёмся вычислением интеграла (4.30). Выберем, для определённости, равномерное разбиение интервала Ь п п говорилось выше. Фиксируем в середине каждого интервала (о;}] на п частей точками (0 = 0 , Ц = ~ , 1п =1, о котором с П +^к-\ некоторую точку & = ^ — . Таким образом, можно для приближённого значения интеграла (4.30) написать три различные интегральные суммы: 1\ интегральная сумма по средним точкам & , ^ 2 " правая интегральная сумма (для точек /^) и / 3 левая интегральная сумма (для точек 1/с_1 ). Для первой из них имеем ‘ ' А , (4-34) 4 к=2 ‘ й ск2[ме4к) а А Л 1где Ак =— , А = . & п Следовательно, |
виде суммы двух интегралов, причём только первый из них останется несобственным 1 Вычислим интеграл (3.10). В предположении непрерывности деформации е1 по I можно записать где Е, е ( 0;^ ] . Заметим, что, по теореме о среднем значении и в силу непрерывности интегрируемых функций, существует такое значение %, при котором данное приближённое равенство (3.12) становится точным. Далее получаем или где (3.10) 1 (3.11) (3-12) (3.13) откуда, учитывая, что <рех —>0 при .V—» 0, следует 100 Займёмся вычислением интеграла (3.15). Выберем, для определённости, равномерное разбиение интервала \о;1\ на п частей точками (рис.^.1) = 0 , Л = —, ..., (к = (,,=!■, о п п котором говорилось выше. I----------1---------1---------------------1---------1--------------------------------1----------1— * *с=° *1 Ь ■■■ *К-1 ** • ■ ■ V I *„=* Рис.3.1. Равномерное разбиение интервала интегрирования Фиксируем в середине каждого интервала (//г_];//с) некоторую точку 4к = 'Л ± 1 Ы . (рис.3.2). [■ ^ '1)^ 1— -------------------_ А )— ----------------------------------_ А — ---* ^1 % * * ■ ^тс-1 ■■■ ^11-1 Рис.3.2. Выбор точек <дк . Таким образом, можно для приближённого значения интеграла (3.11) написать три различные интегральные суммы: /[ интегральная сумма по средним точкам %к , / 2 правая интегральная сумма (для точек 1к ) и / 3 левая интегральная сумма (для точек (/(-{)■ Для первой из них имеем 71— 7-----I *1-$к --------Ц — Д Ь (3.15) п-ЪП8 к„ г 1+ 106 •> Выберем, далее, в середине каждого интервала {(/(-{'1к ) некоторую * точку & = 1к 1 (рис.3.5). Таким образом, можно для приближённого значения интеграла (3.11) написать три различные интегральные суммы: / ( интегральная сумма по средним точкам & , /2 правая интегральная сумма (для точек ) и /3 левая интегральная сумма (для точек //._)). Для первой из них имеем ^1 ~ 7 X * / & -------Ц — АЬ (3.32) /с=2 1+ И ^ где, с учётом (3.31) Д/с= ^ -----= ^ ---------(3.33) Л & -1 Следовательно, г 1 <7-1 ^ 1 71 = 7 и----X ---------о— V " . (3-34) <7" ! а =2 1+ ^ г & где <з -з5> о /7—к4-1 2 ^ ' 1п%к = 1т + 1п{с]к + (]к 1 2) /и(2(с/" 1)), то есть |