|
Исходя из того, что наблюдаемый процесс _у„ можно представить как прогнозирующий полином Pn(f) и его производные по г 5„ = •о ^^„L^n.'/j. -{РпСгЛ и = 0,1,. ....Д -^. -•' (3.87) представляют собой оценки наименьших взвешенных квадратов самого детерминированного процесса (тренда) и его первых^ производных по времени, полученными на основе наблюдения в момент п. Введем понятие эффективности оценки как отношения дисперсии оценки к дисперсии входного шума: p = M[P„(r)f/a2„(^;): (3.88) Учитывая структуру и свойства корней ненормализованных дискретных ортогональных полиномов Lk(r), покажем з^еличение эффективности экспоненциально взвешенных оценок по сравнению с эффективностью классических оценок наименьших квадратов при возрастании порядка модели. Аналогично классическим ортогональным полиномам, по индукции можно' доказать, что дискретный полином Lk(r) порядка к имеет Л: различных положительных корней, причем каждый корень L^fr) расположен строго между корнями XA+I (г/[12. Полином^У = ^ — \ ^ к ( ^ Л ^ ~ 0,1,..., к -I порядка к у имеет J:— D различных положительных корней, причем никакие два корня fu+i и /у не совпадают с единственным корнем /^н-г, расположенным между двумя корнями. Это утверждение получается путем использования конечного числа шагов математической индукции и приведенных выше аналогичных рассуждений на каждом шаге. 104 |
Исходя из того, что наблюдаемый процесс уп можно представить как прогнозирующий полином Р„(г) и его производные по г представляют собой оценки наименьших взвешенных квадратов самого детерминированного процесса (тренда) и его первых к производных по времени, полученными на основе наблюдения в момент п. Введем понятие эффективности оценки как отношения дисперсии оценки к дисперсии входного шума: p = M[P,(г)f/а^Ду). Учитывая структуру и свойства корней (111.88) ненормализованных покажем увеличение дискретных ортогональных полиномов Ь/г), эффективности экспоненциально взвешенных оценок по сравнению с эффективностью классических возрастании порядка модели. Аналогично классическим ортогональным полиномам, по оценок наименьших квадратов при индукции можно доказать, что дискретный полином Ь/г) порядка к имеет А: различных положительных корней, причем каждый корень Ь/г) расположен строго между корнями L^:+l (г) [12 . Полином = — 1^(г ), и = ОД,..., к 1 порядка к V имеет к V различных положительных корней, причем никакие два корня и /о не совпадают с единственным корнем /^+2, расположенным между двумя корнями. Это утверждение получается путем использования конечного числа шагов математической индукции и приведенных выше аналогичных рассуждений на каждом шаге. 141 |