|
Для получения т нижних границ корней полиномов Lk(r) справедливо следующее. Пусть/(Л:) = 2 А ^ _ , Л : ' полином порядка т с различными /=о к о р н я м и Х\< Х2< ... <Хт. Если все корни положительны, то О< 2!_ < j c j . ^rn-\ (3.89) Если все корни отрицательны, то ^т-\ (3.90) Допустим, что корни ^(З:^ положительны. Если т = 1, выражения (III. 89), (III.90) тривиальны. При w > 2 из теоремы Ролля следует, что корни/"(бс) лежат в интервале [хь Хт\, так что/^Зс) и/'(х) оба не равны нулю и имеют один и тот же знак вне этого интервала. Одинаковые зяаки f(x) и f'(x) BKQ интервала [хь х^] сохраняются и при w = 2. Рассмотрим функцию q(x) = f(x) \(х)у где 1(х) = Am -^ Ат-\ х — касательная к/(х) в точке х ~ Q. Так как/'(3с) = q"(x),TO кривизна q(x) отлична от нуля и имеет тот же знак, что У(д:/ в промежутке {^л?, \х). Следовательно, в этом интервале она не меняет знак при TW > 2. Кроме того, так как q(0) = q'(0) = О, то q(x) также не изменяет знак на интервале (—оо, х). Таким образом, для х е (—со, х) f{x) > l{x), если / ( о ) > О; f{x) < l{x), если / ( о ) < О. Но пересечение линии 1(х) с осью абсцисс происходит в точке л: = ^;;,/У4ОТ_1, поэтому соотношение (3.89) справедливо. Если корпи f(x) отрицательны, то аналогичные рассуждения, примененные к q(x) на интервале (Хт, °о), доказывают соотношение (3.90). 105 |
Для получения нижних границ корней полиномов Ь/г) справедливо следующее. т П у с т ь ^ А ^ _ , л ; ' полином /=0 порядка т с различными корнями XI < Х 2 < •.. < Хщ. Если все корни положительны, то А ^ (111.89) Если все корни отрицательны, то х ^ < ^ < 0 . ^т-\ (111.90) Допустим, что корни /(х) положительны. Если ш = 1, выражения (111.89), (111.90) тривиальны. При т > 2 из теоремы Ролля следует, что корни/^^(х) лежат в интервале [хь Хт\, так что/(х) и/"(х) оба не равны нулю и имеют один и тот же знак вне этого интервала. Одинаковые знаки /(х) и А'(х) вне интервала [хь х^] сохраняются и при т = 2. Рассмотрим функцию д(х) = /(х) 1(х), где 1(х) = + Ат-\ х — касательная к/(х) в точке х = 0. Так как/"(3с) = д"(х), то кривизна д(х) отлична от нуля и имеет тот же знак, что /(х) в промежутке (-оо, х). Следовательно, в этом интервале она не меняет знак при т > 2. Кроме того, так как д(0) = д'(0) = О, то д(х) также не изменяет знак на интервале (-оо, х). Таким образом, для х е (-оо, х) /(х)>/(х), если/(0)>0; /(х) По пересечение линии 1(х) с осью абсцисс происходит в точке X = Ащ/Ат-х, поэтому соотношение (1П.89) справедливо. Если корни/(х) отрицательны, то аналогичные рассуждения, примененные к д(х) на интервале (х^, со), доказывают соотношение (1П.90). 142 |