|
'it> 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПОЛИНОМОВ ЛАГЕРРА З.Юсновные свойства ортогональных дискретных полиномов Лагерра Особый интерес представляет прогнозирование различных процессов на основе полиномиальной аппроксимации. Полиномиальная аппроксимация применяется в течение уже значительного периода времени, так ряды Фурье применялись для представления сигналов. Описание исследуемых процессов и систем в виде полиномиальных рядов было предложено Н. Винером [153]. В основе полиномиальной аппроксимации лежит теорема Вейерштрасса, согласно которой при некоторых условиях неизвестную в явном виде функцию У(^() можно представить бесконечной суммой полиномиальных функций\^^// определенных на том же интервале ta < t < tb, где определена функция f(t), /(0=i:c,/,(r). Рассмотрим скалярное произведение двух функцийУ(д:{) и g(Xf): (f,g) = Ef(Xi)g(x,)Mr i где //i>0, а суммирование производится по таким значениям л:,-, которые удовлетворяют неравенству a<-Xtоб). Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Семейство функций называется ортогональной системой на интервале (а, Ь) с весом ///, если для любых двух различных функций этого семейства имеем: 70 |
Г Л А В А III. П Р О Г Н О З И Р О В А Н И Е Н А О С Н О В Е ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПОЛИНОМОВ ЛАГЕРРА III.1. Основные свойства ортогональных дискретных полиномов Лагерра Особый интерес представляет прогнозирование различных процессов на основе полиномиальной аппроксимации. Полиномиальная аппроксимация применяется в течение уже значительного периода времени, так ряды Фурье применялись для представления сигналов. Описание исследуемых процессов и систем в виде полиномиальных рядов было предложено Н. Винером [153]. В основе полиномиальной аппроксимации лежит теорема Вейерштрасса, согласно которой при некоторых условиях неизвестную в явном виде функцию f(t) можно представить бесконечной суммой полиномиальных функций fi(t) определенных на том же интервале ta < t < tb, где определена функция f(t), со Рассмотрим скалярное произведение двух функций f(xi) и g(Xj): (f>g)=i:f(^i)s(^i)\^i i где /di>0, а суммирование производится по таким значениям Х/, которые удовлетворяют неравенству a Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Семейство функций называется ортогональной системой на интервале (а, Ь) с весом двух различных функций этого семейства имеем: если для любых 107 |