« • Произвольный полином степени п можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов Pm(Xi), т = О, 1,..., п. Поэтому согласно (3.4) полином P„(3ciJ ортогонален к любому полиному, степень которого меньше п. • Ортогональные полиномы Р„(х^) определяются однозначно (с точностью до постоянного множителя) весом //,-. Явное выражение для полиномов P„(Xf) можно получить на основе (3.3). Так как скалярное произведение (рт> <Рп) выражается через моменты весовой функции ^«=Z^Г^^/ (i=o;i,...), i существование которых при любом п будем предполагать, то 1-0 ^'1 "и т q Pn(Xi)= 'пп С2 1 X ..п Пусть f(Xji) fi, ^fi= fi+\~fv Тогда ортогональные полиномы дискретного переменного будут определяться следующим образом. Предположим в (f, g) /i < i < /2 I, ХЦ = a, Xi2 = b. Точки Xj связаны соотношением Xi+\= aXj + Д где <я, /3некоторые константы. Полиномы Pn(xi), удовлетворяющие соотношению ортогональности (f> S) ~ ^i называются ортогональными полиномами дискретного переменного, если вес p(Xi) удовлетворяет разностному уравнению вида L [а(х) р(х) ] = 'с(х) р(х) и граничным условиям: Х.а.р. ^i=a,b (3.5) = 0, т = ОЛ,... 73 ^-^ ^^ |
• произвольный полином степени п можно представить в Рт(хг), т = О, виде линейной комбинации ортогональных полиномов \,..., п. Поэтому согласно (111.4) полином Р„(х1) ортогонален к любому полиному, степень которого меньше п. • Ортогональные полиномы Рп(х1) определяются однозначно (с точностью до постоянного множителя) весом Явное выражение для полиномов (Ш.З). Так как скалярное произведение моменты весовой функции (срщ, ср^) выражается через Рп(Хг) можно получить на основе суп];ествование которых при любом п будем предполагать, то ^0 С1 С2 ... ... 1 X . .. х" Пусть /(х^) = /г, = /¡+1-/1 Тогда ортогональные полиномы дискретного переменного будут определяться следуюгцим образом. Предположим в (f, g) 1\ < г < ¡2 ~ I, Хц = а, Хг2 = Ь . Точки Хг связаны соотношением Х г + \ ах^ + Д где а, Р некоторые константы. Полиномы (f, g) Рп(х1), удовлетворяющие соотношению ортогональности дискретного О, называются ортогональными полиномами переменного, если вес р(х1) удовлетворяет разностному уравнению вида 1[а(х)р(х)]=т(х)р(х) и граничным условиям: 1 = а, Ь (П1.5) = 0, т=0,1,... ПО |