|
Применив метод, аналогичный интегрированию по частям, можно показать, что 'Zxr^L[P„(x)]p^(Xi)Axi=0 при т<п,х=Хи (3.9) где p\(Xi) = (Ti+i Pi+i, т. е. полиномы!, [Рп(х)] являются ортогональными полиномами дискретного переменного с весом Pi(x) = cy[ti(x)]p[t,(x)] = [G(x) + x(x)]p(x). (3.10) При помощи метода математической индукции сформулируем следующую теорему: полиномы ^"[Pnfx)] являются классическими ортогональными полиномами дискретного переменного с весом Pm(x) = p(t„,)Ylc(ti^), к=1 /я удовлетворяюцщми разностному уравнению # L [о(х)р Jx)] = т^ (х)р„ (х), где m-l '^Jx)-"ZL[y{h(x)}+a'"x{tJx)}]. к=0 (3-11) На основе использования свойства ортогональности полиномов L[P„(x)], получим разностное уравнение для Рп(х), аналогичное дифференциальному L[G(X) уравнению для обычных классических (3.12) (3.13) ортогональных полиномов (разностное уравнение второго порядка), pxM[P„(x)]i+X„p(x) Р„(х) = О, или, что то же самое, G{x)L[M[P„(x)]i+x{x)L[P„{x)]+X^P„{x) = 0. коэффициенты при jc". Так как Для определения постоянной Я„ достаточно сравнить в (3.13) 75 |
Применив метод, аналогичный интегрированию по частям, можно показать, что Y,x'l'~4[PJx)\px(Xi)AXi=0 при m полиномы/. [Р«(х)] являются ортогональными полиномами дискретного переменного с весом (X) = а (х)]^ [ц (х)] = [а (X) + т (х)]р(х). (ШЛО) При помощи метода математической индукции сформулируем следующую теорему: полиномы Ь'"[Р„(х)] являются классическими ортогональными полиномами дискретного переменного с весом т pJx) = p(t^)Yla(t^), к=\ удовлетворяющими разностному уравнению где '^J^)=l4G[t, k=0 (x)} + a'^T{tJx)} (IILU) На основе использования свойства ортогональности полиномов Ь[Р„(х)], получим разностное уравнение для для Р„(х), обычных аналогичное классических дифференциальному уравнению ортогональных полиномов (разностное уравнение второго порядка), L[G(X) pxM[PJx)]] + X„p{x) PJx) = О, (111Л2) или, что то же самое, а (х)Ь [М [Р^ (х)1 +x{x)L [Р„ {х)] + ^ „Р„ (х) = О. (III. 13) Для определения постоянной Я„ достаточно сравнить в (III. 13) коэффициенты при х". Так как 112 |