|
Если многомерные фигуры, ограничивающие области Qm, не пересекаются друг с другом, то задача распознавания сводится к задаче различения или идентификации, т.к. попадание объекта в одну из областей Пт позволяет делать однозначный вывод о принадлежности исследуемого объекта. Если же зоны Qm пересекаются, то образуются зоны неоднозначности решения задачи классификации. Точки А, многомерного пространства, попавшие в эти зоны пересечения могут порождаться различными классами объектов с отличной от нуля вероятностью. Наличие этих зон, обуславливающих ошибки классификации объектов, можно объяснить неполным описанием объектов и использованием конечного набора признаков. При этом часть информации, используемой для классификации исследователем не учитывается, некоторую часть не удается измерить либо описать формально, а часть информации отбрасывается при обработке. Рисунок 1.3 Отображение множества объектов двух классов в р-мерном признаковом пространстве ш Необходимо отметить, что при решении задач распознавания образов с использованием геометрических моделей опираются на основополагающую гипотезу о компактности образов [9. 70, 1]: простому образу соответствует комXр |
26 Выбор пространства и действующей в нем метрики оказывает влияние на модель и постановку задачи. Пространство называют метричным, если задана числовая функция, которая каждой паре точек пространства ставит в соответствие расстояние между ними [13]. Эту функцию называют метрикой пространства. Предполагается, что метрика пространства должна удовлетворять некоторым естественным условиям. Расстояние между двумя точками должно быть всегда положительным и обладать свойством симметрии. Кроме того, расстояние между двумя точками не должно превышать суммы их расстояний до любой третьей. Как правило для геометрического представления объектов используют евклидово пространство, что не в последнюю очередь определяется возможностью интерпретации результатов по аналогии с трехмерным физическим пространством, воспринимаемым органами чувств человека и подвластным его образному мышлению. В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками этого пространства, вычисляется по формуле d = V(x ii _ х и ) 2 + (x 2i x 2j ) 2 + ... + ( x pi x pj) 2 , (1.2) где Xj и X: различные объекты в признаковом пространстве. Использование других пространств (Лобачевского, Банахова и пр.) является столь же правомерным, однако для перехода к модели явления в неевклидовом пространстве необходимо иметь достаточно высоки уровень априорной информации, оправдывающий необходимость такого перехода. Таким образом, каждый объект А может быть представлен точкой А в рмерном евклидовом пространстве, либо вектором х , соединяющим начало координат с этой точкой. Декартовы координаты конца вектора (точка А) есть действительные числа Xj, х2, ..., х , являющиеся признаками объекта А. Любой совокупности объектов А\ (i =l...n ) может быть однозначно поставлена в соответствие совокупность точек Ai в многомерном пространстве, которая описывается матрицей координат X. Вся совокупность точек А; может быть ограничена некоторой многомерной областью пространства. Если производится описание объектов нескольких классов (имеющих объективные различия), то каждому из классов соответствует некоторая область в выбранном пространстве признаков (рис. 1.7). Если многомерные фигуры, ограничивающие области Qm, не пересекаются друг с другом, то задача распознавания сводится к задаче различения или идентификации, т.к. попадание объекта в одну из областей Qmпозволяет делать однозначный вывод о принадлежности исследуемого объекта. Если же зоны Qmпересекаются, то образуются зоны неоднозначности решения задачи классификации. Точки А}многомерного пространства, попавшие в эти зоны пересечения могут порождаться различными классами объектов с отличной от нуля вероятностью. Наличие этих зон, обуславливающих ошибки классификации объектов, можно объяснить неполным описанием объектов и использованием конечного набора признаков. При этом часть информации, используе мой для классификации исследователем не учитывается, некоторую часть не удается измерить либо описать формально, а часть информации отбрасывается при обработке. Необходимо отметить, что при решении задач распознавания образов с использованием геометрических моделей опираются на основополагающую гипотезу о компактности образов [4]: простому образу соответствует компактное множество точек в признаковом пространстве. При этом предполагается, что 1) всегда возможен плавный переход от одного объекта к другому внутри данного образа так, что и промежуточные объекты будут восприниматься как объекты этого же образа, и наоборот, от объектов одного образа нельзя плавно перейти к объектам другого без того, чтобы не возникли объекты с неопределенной принадлежностью; 2) при малой деформации объектов в любом направлении они не выходят за пределы данного образа. Уточним понятие компактного множества [13]. Компактным множеством называется такое множество точек, для которого: 1) число граничных точек мало по сравнению с общим их числом; 2) любые две внутренние точки множества могут быть соединены достаточно плавной линией, проходящей только через точки того же множества; 3) почти каждая внутренняя точка имеет в достаточно обширной окрестности только точки этого же множества. Более строгую математическую формулировку компактного множества и гипотезы о компактности можно найти в [26]. 1.4. Анализ методов теории распознавания образов, применяемых для р шения задач диагностики Отображениемножества объектов двух классов вр-мерном признаковом пространстве f x . Xр Рис. 1.7. Процесс распознавания состоит в том, что система распознавания на основе |