|
i I 50 где a = (a2a ,) / a , ct, = которая может быть использована для оптимизации характеристик распознающей системы, заключающейся в отыскании объемов ш* и л* обучающих и контрольной выборок, минимизирующих критерий и удовлетворяющих ограничениям h,(n, ш, a, Р) на допустимые объемы выборок и вероятности ошибок [82]: + р = 2m + n -> min; a = P = 0 ( a 8V m /2)o[ae/(2V l/m + 2 /n )]^a* = Р* (1.18) * Объемы т* и п*, являющиеся решением задачи (1.18), называют опти( мальными. При каждом выбранном аЕоптимальные значения объемов ш* и п* мо* гут быть найдены стандартными методами целочисленного программирования [2,43]. В [82] предлагается более простая методика решения данной задачи оптимизации. Используя инвариантность решения (ш*,п*) задачи (1.18) относительно умножения критерия на положительное число, задача оптимизации переписывается в следующем виде: a8(2m + n)—>min ф(аел/т /2) -ф[ае /2 -^ (1 /m) + 2 /n l > 1 2 а \ (1-19) |
Оптимизация временных характеристик системы распознавания 42 номерных нормальных Рассмотрим оптимизацию характеристик системы распознавания одномерных нормальных совокупностей Sj и s2 с неизвестными средними значениями а1 и а, и общей известной дисперсией а 2, основываясь на теоретических результа2 тах, полученных в [85] для ошибок распознавания первого и второго рода а и р . Поскольку в рассматриваемом случае размерность признакового пространства р = 1, в процессе оптимизации минимизируется суммарный объем р обучающих и контрольных выборок (то есть общее количество р требуемых для распознавания наблюдений), необходимый для достижения заданного уровня достоверности (непревышения вероятностями ошибок а и Р их верхних границ а и Р ) при заданном ограничении, заключающемся в том, что нормированная разность между средними значениями совокупностей (а2-аЛ/су должна быть не меньше некоторого минимального значения аЕ> 0, в качестве которого, как было сказано ранее, целесообразно взять точность измерения этой разности в реальных системах. Выражение для суммарного объема обучающих и контрольной выборок р, получающееся из (1.13) при К = 2, m, = m2 = т , b = 1 и, поскольку рассматривается одномерный случай, р = 1, имеет вид р = 2m+ п Для наиболее часто применяемого на практике критерия максимального правдоподобия и одинаковых размерах обучающих выборок вероятности ошибок распознавания равны между друг другу и выражаются через табулированную функцию ошибокФ(х) в соответствии с формулой [82, (2.17)] а = Р = F (-a /a 2)-F(a/a1)+ F(a/a2)-F(-a/a 1 Ф 2 2 а где а = (а2а 1) /а , а, = ^4 / п +1 / тх+1 / т2, <т2= *Jl/ mt +1/ т2, и известны соотношения F(x) = [o(x/V2j/2] + l/2, F(х) = fl / 2 фх / л/2j / 2J, ф(х) = ~ (ехр(—z2)dz, V t c 0J v 7 которая может быть использована для оптимизации характеристик распознающей ф ф системы, заключающейся в отыскании объемов ш и п обучающих и контрольной выборок, минимизирующих критерий и удовлетворяющих ограничениям Ь4(п, m, а, Р) на допустимые объемы выборок и вероятности ошибок [83]: р = 2m + п —»т т ; а = Р = — фа6Vm/2j®fag/(2л/1/т +2/п <а* =Р* (1.18) 2 2 г 43 Объемы ш и п , являющиеся решением задачи (1.18), называют оптимальными. * * При каждом выбранном аЕоптимальные значения объемов ш и п могут быть найдены стандартными методами целочисленного программирования [88]. В [83] предлагается более простая методика решения данной задачи опти$ ф мизации. Используя инвариантность решения (ш , п ) задачи (1.18) относительно умножения критерия на положительное число, задача оптимизации переписывается в следующем виде: a2(2m+ n) -» min ф(аЕ7 т /2 ) Ф а Е/2-^(1/т) + 2/п > 1 2 а \ (1.19) Разрешая уравнение ф(л/^/2)-ф[1/2-Л/(1/х) + 2/у]=1-2а* (1.20) относительно у 8х2f2 1 У 2а*)/ф(л/х/2)1 х-4^Г(1-2а*)/ф(л/х/2)Г (1.21) где f [t] = Ф ‘(t), и выясняя следующие свойства функции (1.21): 1)область определения G: 4 f2 /1-2а")<х<оо, 2) lim__ у = оо, x-»4f2f J l 2 a 1+0 3)(5у/Эх)<0, xeG, 4) (д2у / dx2J>0, xeG, и учитывая монотонность и непрерывность функций Ф(х) и Ф_1(х), показано, что если х0 и у0 являются решениями нижеследующей задачи оптимизации в классе непрерывных функций: 2х + у -» min, х,у 8х2f2 1 У 2а*)/ф(л/х/2)] х 4 f2Г(12а*) / ф(л/х / 2)1 ’ (1.22) то с достаточной для практических приложении точностью в качестве решения (m*, n*j задачи (1.19) можно принять * m хо где [t] целая часть t. /ц 2]+ 1, п* = [у0/ц Е]+ 1, (1.23) Задача (1.22) сводится к задаче минимизации функции одной переменной min(2x + y) = min2x2/ х -4 £ 2((1-2а*)/ф(л/х/2) , (1-24) х.у решаемой стандартными методами оптимизации [60]. |