|
71 один раз, требуется (а?I) суждение. Отсюда можно вывести все остальные суждения. Согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию равенства се максимального собственного значения А ,тах с п. Отклонение от согласованности оценивается, как (Лтах 1)/(л 1), при этом неравенство А ,тах> п всегда верно. В МАИ оценка согласованности МПС основана на вычислении индекса согласованности (ИС), который получается сравнением степени согласованности матрицы, заполненной экспертом, и степени согласованности матрицы такой же размерности, заполненной случайным образом. Для идеально согласованной положительной обратно симметричной матрицы максимальное собственное число равно ее порядку. Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале рис. 1.4 обратно симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов Т. Саати называет случайным индексом (СИ) и приводит средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок: Т а б л и ц а I .2 Средний индекс согласованности для матриц порядка от 1 до 15 Порядок матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Средний СИ 0,0 0,0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,59 Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка, меньшее или равное 0,10, считают приемлемым. Метод анализа иерархий может быть распространен и на случай динамических предпочтений и приоритетов, зависимостей приоритетов от времени, т.е. эксперт оценивает не только предпочтительность одной альтернативы перед другой, но и возможное изменение этой оценки на интервале времени. Оценка предпочтительности задается функцией из некоторой функциональ |
ние является мерой согласованности суждений. Собственный вектор и’.и собственное значение матрицы А определяют из уравнения: A w=Am axw, (1.10) где Ата,-максимальное собственное значение матрицы А. Матрицы подобного вида являются неприводимыми, поэтому для вычисления w обычно применяется итерационный метод. Вычисление вектора приоритетов матрицы вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. Саати Т. приводит четыре способа получения вектора приоритетов. Для согласованной матрицы все четыре способа дают одинаковые векторы приоритетов. Точное решение задачи с использованием ЭВМ получается возведением матрицы в произвольно большие степени и делением суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. Полученные векторы приоритетов для любой альтернативы взвешиваются соответствующей компонентой собственного вектора объединенного критерия. Результаты суммируются и нормализуются. Согласованность (транзитивность) суждений связана с тем, что эксперт, сравнивая альтернативы попарно, не думает о взаимоотношениях альтернатив с остальными, поэтому могут возникнуть нарушения транзитивности суждений и дальнейшая обработка матриц будет невозможна. Согласованность математически выражается следующим соотношением для всех U ,к: aik=ciij*ajk ( 1.11) Для проведения парных сравнений л объектов или действий, при условии, что каждый объект или действие представлено в данных по крайней мере один раз, требуется (п-1) суждений. Из них можно вывести все остальные суждения. Согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию равенства ее максимального собственного значения А, с л. Отклонение от согласованности оценивается, как (А.тах-1)/ (п-1), при этом неравенство А ^ ^ п всегда верно. 62 63 В МАИ оценка согласованности МПС основана на вычислении индекса согласованности (ИС), который получается сравнением степени согласованности матрицы, заполненной экспертом и степени согласованности матрицы такой же размерности, заполненной случайным образом. Для идеально согласованной положительной, обратно симметричной матрицы максимальное собственное число равно ее порядку. Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале рис. 1.5 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, Т. Саати называет случайным индексом (СИ) и приводит средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок: Таблица 1.2 Средний индекс согласованности для матриц порядка от 1до 15. Порядок матрицы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Средний СИ 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,5/ 1,59 Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка меньшее или равное 0,10, считают приемлемым. Метод анализа иерархий может быть распространен и на случай динамических предпочтений и приоритетов, зависимостей приоритетов от времени, т.е. эксперт оценивает не только предпочтительность одной альтернативы перед другой, но и возможное изменение этой оценки на интервале времени. Оценка предпочтительности задается функцией из некоторой функциональной шкалы или аппроксимацией экспертных оценок в разные моменты •B piмени. Матрица парных сравнений, максимальное собственное число Лт алсобственный вектор w тоже будут зависеть от времени: A(t)w(t)= Лт а, w(t) (1.12) Для этого уравнения можно получить аналитическое решение, если порядок матрицы A(t) не превышает 4. Альтернативным способом является по |