|
f[u (t)]d x = W 39 (3.2) Типичны й вид зависимости скорости операции от количества ресурсов приведен на рис. 3.2. Сначала с ростом количества ресурсов средняя производительность растет, а затем она начинает падать. Н а практике применяются более простые либо линейные зависимости вида Рис. 3.2. Зависимость скорости операции от количества ресурс О, U < а f( u ) = ' а, a < u < b , (3.3) [ь , Ь < U либо степенные вида f(u ) = u“ (ка к правило, а < 1 ). В аж ной характеристикой работы являются затраты ресурсов к S = u(x)dT (3.4) 'н (прямые затраты сьтрья, материалов, трудозатраты, финансовые и т.д.). В ряде случаев ограничения наложены на затраты ресурсов на работу. Очевидно, что с ростом затрат продолжительность работ не увеличивается при разумном использовании ресурсов. Определим зависимость продолжительности работы т от затрат на ес выполнение при заданной зависимости скорости работы от количества ресурсов, предполагая, что ресурсы распределяются оптимально. Примем сначала, что зависимость f(u ) является вогнутой дифференцируемой ф ункцией, то есть, для любого О < а < 1 и лю бы х u j и uz |
ся, то будем говорить, что работа выполняется с постоянной интенсивностью. Для описания работы, выполняемой с постоянной интенсивностью достаточно задать продолжительность работы при различных уровнях ресурсов, то есть зависимость т(и), где и —количество ресурсов, выполняющих работу. Отношение w ( u ) = ^ (3.1) т(и) определяет интенсивность выполнения работы (производительность участвующих в работе ресурсов), которую мы будем называть скоростью выполнения работы (или просто скоростью работы). Из выражения (3.1) видно, что скорость измеряется объемом работ, выполняемым в единицу времени. Без ограничения общности можно принять, что скорость работы является неубывающей функцией количества ресурсов. Заметим, что одновременное увеличение (уменьшение) и объема, и скорости работы в одно и то же число раз не изменяет ее продолжительности. Следовательно, и величина объема, и его единица измерения могут быть выбраны произвольно. Как правило, единица измерения объема выбирается из содержательного смысла. Наиболее сложным является случай, когда работа может выполняться с переменной интенсивностью, то есть количество ресурсов на работе может меняться в процессе ее выполнения. Для описания работы в этом случае необходимо задать ее объем W и зависимость w = f(u) скорости работы от количества выполняющих ее ресурсов. Обозначим через u(t) количество ресурсов на работе в момент времени t, t„ момент начала работы, —момент ее окончания. Имеет место соотношение: t. Jf[u(t)]dx=W (3.2) t. Типичный вид зависимости скорости операции от количества ресурсов приведен на рис. 3.2. Сначала с ростом количества ресурсов средняя производительность растет, а затем она начинает падать. 32 На практике применяются более простые либо линейные зависимости вида О, и < а f(u )= а, a < u < b , (3.3) Ь, b < u либо степенные вида fl^u) = u“ (как правило, а < 1). Важной характеристикой работы являются затраты ресурсов S = u(T)di (3.4) t . (прямые затраты сырья, материалов, трудозатраты, финансовые и т.д.). В ряде случаев ограничения наложены на затраты ресурсов на работу. Очевидно, что с ростом затрат продолжительность работ не увеличивается при разумном использовании ресурсов. Определим зависимость продолжительности работы Xот затрат на ее выполнение при заданной зависимости скорости работы от количества ресурсов, предполагая, что ресурсы распределяются оптимально. Примем сначала, что зависимость f(u) является вогнутой дифференцируемой функцией, то есть, для любого О< а < 1 и любых U] и U2 f(aui + (l-a )u 2 )^ a f(u i) + (l-a)f(u2). Теорема 1.1 [SJ. Оптимальному распределению ресурсов соответствует выполнение работы с постоянной интенсивностью. Доказательство. Пусть работа выполняется за время т периодов. Поставим задачу распределить затраты по периодам так, чтобы объем выполненной работы был максимальным, то есть 33 |