|
f(a u i + ( la ) u 2) > a f(u i) + ( la ) f( u 2). Т е о р е м а I . l [5 ]. О птимальному распределению ресурсов соответствует выполнение работы с постоянной интенсивностью . Д о ка за т е л ь ст во . П усть работа выполняется за время т периодов. П оставим задачу распределить затраты по периодам так, чтобы объем выполненной работы был максимальным, то есть 40 -> m a x k=I при ограничении Z u ^ = S , k=l где uic количество ресурсов в периоде к . Применяя метод множителей Л агранжа получим необходимое условие оптимальности: f(u O = > .,k = l-b T . Следовательно, = и для всех к. Учитывая, что ит = S и f(u)xT = W , получаем: X T = W . (3.5) И з этого уравнения определяется зависимость x(S) либо S (t). П р и м е р 3 .1 . П усть f (и ) = , а > 1. Имеем: х т = W . И з этого уравнения получаем в случае а = 2, S(x) = |
На практике применяются более простые либо линейные зависимости вида О, и < а f(u )= а, a < u < b , (3.3) Ь, b < u либо степенные вида fl^u) = u“ (как правило, а < 1). Важной характеристикой работы являются затраты ресурсов S = u(T)di (3.4) t . (прямые затраты сырья, материалов, трудозатраты, финансовые и т.д.). В ряде случаев ограничения наложены на затраты ресурсов на работу. Очевидно, что с ростом затрат продолжительность работ не увеличивается при разумном использовании ресурсов. Определим зависимость продолжительности работы Xот затрат на ее выполнение при заданной зависимости скорости работы от количества ресурсов, предполагая, что ресурсы распределяются оптимально. Примем сначала, что зависимость f(u) является вогнутой дифференцируемой функцией, то есть, для любого О< а < 1 и любых U] и U2 f(aui + (l-a )u 2 )^ a f(u i) + (l-a)f(u2). Теорема 1.1 [SJ. Оптимальному распределению ресурсов соответствует выполнение работы с постоянной интенсивностью. Доказательство. Пусть работа выполняется за время т периодов. Поставим задачу распределить затраты по периодам так, чтобы объем выполненной работы был максимальным, то есть 33 •max k»I при ограничении S % = s . k=l где Uk количество ресурсов в периоде к. Применяя метод множителей Лагранжа получим необходимое условие оптимальности: f(uk) = X, к=1ч-Т. Следовательно, Uk= и для всех к. Учитывая, что ит “ S и fl;u)xT = W , получаем: XT = W . (3.5) Из этого уравнения определяется зависимость т(8) либо 8(т). Пример S.LUycTb f(u )= u '^ , а > 1. Имеем: х т = W . Из этого уравнения получаем В случае а = 2, S{x) = Заметим, что в случае линейной зависимости затраты равны объему работы W. Если величину затрат умножить на стоимость единицы ресурса, то получим стоимость работы, которая является основой формирования сметы и бюджета проекта. Если зависимость f(u) имеет произвольный вид (например, заданав конечном числе точек), то строим вогнутую зависимость, максимально близкую к заданной. Способ построения ясен из рис. 3.3. 34 |