|
риационной матрицы /-г о кластера; п количество объектов; с —количество кластеров; i = l,w , / = 1,с. При оценке качества кластеризации для кластеров гилерсферической формы (или формы, близкой к гилерсферической) можно использовать показатель качества кластеризации —индекс Sph [31]: с Sph ~ Д v—>min, (3.22) mmd{yJ9vt) y=u vJ 11 l-\,c t*J Yj =maxd[xn Vj)y (3.23) xteX j где v7 вектор координат центра j -го кластера; х, —вектор координат /-го объекта; расстояние между объектом jcf, принадлежащим кластеру X п и центром кластера ; af(vy.,v,) расстояниемежду центрами кластеров v и v,; л количество объектов;с количество кластеров; / = 1,я, j = 1,с, / = 1,с. При использовании индекса 5рй очевидным является стремление минимизировать радиус каждого /-г о кластера (у = 1,с). Кроме того, кластеры должны быть как можно больше отделимы друг от друга, то есть центры кластеров должны быть максимально удалены друг от друга. Следует отметить, что применение общего гиперобъема Н в качестве показателя качества кластеризации дает адекватные результаты кластеризации как для кластеров гиперэллипсоидной формы, так и в частном случае для кластеров гилерсферической формы, что обеспечивается использованием при расчетах ковариационных матриц кластеров, описывающих форму и ориентацию кластеров. Однако индекс Sph характеризуется меньшей вычислительной сложностью, чем общий гиперобъем Н , так как не требует расчета определителей ковариационных матриц. 163 |
Применение этих показателей .дает, адекватные результатыкластеризации для-, кластеров различной формы: гиперсфер, гиперэллипсоидов и т.п., что обеспечивается использованием при расчетах ковариационных матриц ..кластеров, описывающих форму и ориентацию кластеров. Гиперэллипсоид определяется уравнением вида [276, 346]: (A--vy)r ; ^ :, -( x v /) = l, . : • где Rj ковариационная матрица у -го кластера; V/ век тор координат центра у тго кластера. Собственные числа (•/= 1,с , /'= V,q) ковариационной матрицы у-го кластера определяют / -е полуоси гиперэллипсоида равен длине /-й полуоси), а собственные вектора (у = 1,с, / = 1,q) —ориентацию его осей! Если собственные числа Л^ (у,= Г,с,. 1= \,q ) ковариационной матрицы /-го кластера различны между собойj а, собственные вектора ф}1 (у = 1,с, l = \,q ) таковы, что оси гиперэллипсоида параллельны осям координат, то можно говоритьоб использовании •диагональной нормы при определении формы и ориентации кластера. Если собственные числа Л,, ( у = 1,с , / = \,q ) ковариационной матрицы у-го кластера различны между собой, а собственные вектора ф}1 ( у = 1,с , I = 1,q) таковы, что оси гиперэллипсоида имеют произвольную ориентацию по отношению к осям координат, то. это свидетельствует об использовании нормы Махалонобиса при определении формы и ориентации кластера. Для кластеров гиперсферической формы все собственные числа у-го клас тера (у = Г,с) равны между собой: Л. XJt ( \/l = [,q), а ЛД ~ определяет радиус гиперсферы. На рисунке 5.20 приведен пример гиперэллипсоида в пространстве Так как общий гиперобъем Н и индекс плотности PD являются взанмнообратньтми, то в дальнейшем при оценке качества кластеризации будет использоваться общий гиперобъем II по формуле (5.40). Для множества объектов, содержащего кластеры гиперсферической формы (или формы, близкой к гиперсферической), в качестве показателя качества кластеризации можно использовать индекс Sp/i по формуле (5.44), который должен быть минимизирован. В этом случае очевидным является стремление минимизировать радиус каждого j -го кластера. Кроме того, кластеры должны быть как можно больше отделимы друг от друга, то есть центры кластеров должны быть максимально удалены друг от друга. Следует отметить, что вычислительная сложность, имеющая место при расчете индекса Sph по формуле (5.44) ниже, чем вычислительная сложность при расчете общего гиперобъема Н по формуле (5.40) или индекса плотности PD по формуле (5.42) (ПРИЛОЖЕНИЕ 5). Рисункок 5.20 Пример гиперэллипсоида в пространстве 2 D . 356 |