|
характеризуется конченым числом переменных, задача естественным образом сводится к задаче устойчивости по Ляпунову для систем с конечным числом степеней свободы. В общем случае состояние системы описывается бесконечным числом переменных. Тогда оказывается возможным поставить задачу об устойчивости по отношению к конечному числу переменных, если ввести некоторые величины, интегральным образом характеризующие движение жидкости [52]. При этом так же возможно и эффективно применить метод функций Ляпунова. Третий подход связан с идеями Ляпунова в теории фигур равновесия вращающейся жидкости и приводит к обобщению теорем Лагранжа и Рауса. При этом задача устойчивости равновесия приводится к задаче минимума некоторого функционала. Большое число работ посвящено динамике твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, имеющую свободную поверхность. Эти задачи имеют важное значение для приложений. Помимо вопросов устойчивости, здесь представляет интерес изучение совместных колебаний жидкости и тела с жидкостью, разработка эффективных численных методов расчета движения таких систем. Эти задачи рассматривались, главным образом, в линейной постановке. Н.Н. Моисеев в своих работах [46-49] исследовал спектр собственных колебаний тяжелой идеальной жидкости в неподвижном сосуде. Им рассматривалось тело с колеблющейся жидкостью как механическая система с бесконечным числом степеней свободы. Задача гидродинамики была отделена от задачи динамики эквивалентного тела, с которым связана бесконечная система математических маятников. Динамические характеристики жидкости с «замороженной» свободной поверхностью вычислялись по методу Н.Е. Жуковского, а колебания свободной поверхности находились через решение задачи о собственных 16 |
с полостью, заполненной жидкостью. Эти условий согласуются с результатами С.Л.Соболева [76]. А именно: при вращении свободного твердого тела с жидкостью вокруг его центра инерции для устойчивости движения достаточно, чтобы ось вращения была осью наибольшего центрального момента инерции всей системы. Этот результат дополняет теорему, приведенную ранее в работе Н.Е.Жуковского [28]. В.В.Румянцев так же занимался исследованием движения систем с неидеальными связями, в частности, с трением, для которых предложил вариационный принцип без явно входящих сил трения. При постановке задач об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, представляющих систему с бесконечным числом степеней свободы, принципиальным является вопрос об определении понятия устойчивости. Предложено три основных подхода к исследованию устойчивости для задач в нелинейной постановке. Когда движение жидкости в полости характеризуется конченым числом переменных, задача естественным образом сводится к задаче устойчивости по Ляпунову для систем с конечным числом степеней свободы. В общем случае состояние системы описывается бесконечным числом переменных. Тогда оказывается возможным поставить задачу об устойчивости по отношению к конечному числу переменных, если ввести некоторые величины, интегральным образом характеризующие движение жидкости [52]. При этом так же возможно и эффективно применить метод функций Ляпунова. Третий подход связан с идеями Ляпунова в теории фи1ур равновесия вращающейся жидкости и приводит к обобщению теорем Лагранжа и Рауса. При этом задача устойчивости равновесия приводится к задаче минимума некоторого функционала. Большое число работ посвящено динамике твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, имеющую свободную поверхность. Эти задачи имеют важное значение для приложений. Помимо вопросов устойчивости, здесь представляет интерес изучение совместных колебаний 17 жидкости и тела с жидкостью, разработка эффективных численных методов расчета движения таких систем. Эти задачи рассматривались, главным образом, в линейной постановке. Н.Н. Моисеев в своих работах [46-49] исследовал спектр собственных колебаний тяжелой идеальной жидкости в неподвижном сосуде. Им рассматривалось тело с колеблющейся жидкостью как механическая система с бесконечным числом степеней свободы. Задача гидродинамики была отделена от задачи динамики эквивалентного тела, с которым связана бесконечная система математических маятников. Динамические характеристики жидкости с «замороженной» свободной поверхностью вычислялись по методу Н.Е. Жуковского, а колебания свободной поверхности находились через решение задачи о собственных колебаниях жидкости в неподвижной полости. Задачу о колебаниях тяжелой идеальной жидкости в сосуде Н.Н. Моисеев рассмотрел и в нелинейной постановке, применив подход, предложенный А. Пуанкаре. Он искал приближенное решение задачи в виде асимптотического ряда ио малому параметру (амплитуде волны) и показал, что спектр собственных колебаний является не дискретным, а кусочно-непрерывным, а амплитуда колебаний может быть любой из круга сходимости ряда. Рассмотрев задачу о вынужденных колебаниях жидкости в периодическом поле массовых сил, ему удалось построить вблизи резонанса и вдали от резонанса приближенные асимптотические решения, вырождающиеся в тривиальное решение. Цикл работ А.А. Петрова, одного из учеников Н.Н. Моисеева, посвящен изучению колебаний ограниченного объема жидкости в полостях твердых тел. Для различного вида полостей дается вариационная формулировка задачи о движении жидкости в сосуде конечных размеров, а также приближенные решения задач в вариационной формулировке [60]. Приводятся вычисления собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным методом [63]. Предлагаются приближенные численные методы расчета 18 |