|
ГЛАВА I. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА В данной главе изучается динамика твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость. Рассматривается слабо возмущенное движение тела под действием моментов внешних сил. Задача разбивается на две части гидродинамическую и динамическую, которые могут выполняться независимо. Изучается устойчивость свободного вращения системы тело-жидкость. В пространстве безразмерных параметрах построены области устойчивости. Методом преобразования Лапласа выводится зависимость угловой скорости как функции управляющего момента. § 1. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей идеальную жидкость. Рассмотрим возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью Q, целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкостью полости р и вязкости v , в поле массовых сил с потенциалом U. Уравнения движения жидкости * I запишем во вращающейся системе координат OxyZ, жестко связанной с твердым телом — • dV 1 Wo + сох {со х г ) + (<ух ?) + 2{& х V) + — + (EV)E = V P VU, dt р ( 1 .1) divV = 0 в Q, V -п = 0 на S, V = V0(r) при t = 0; 24 |
Рассмотрим возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью Q, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, в поле массовых сил с потенциалом U. Уравнения движения жидкости записываются во вращающейся системе координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом Й; + <ух(<ухг) + (й)хг) + 2(й5хЙ) + ^ + (гУ)Р = ~4P-VU, divV = 0eQ, V-n = 0naS, У = V0(f)nput = 0, где t время, г радиус-вектор, отсчитанный отточки О, У = скорость жидкости в системе координат Oxyz, Р = Р(г) давление в жидкости, Wo абсолютное ускорение точки О, <5 = (5(t) абсолютная угловая скорость вращения твердого тела, а его угловое ускорение, S граница области Q, п орт внешней нормали к S. В системе координат, связанной с телом, уравнение моментов относительно центра инерции О, всей системы имеет вид —+ахК = Мх, K = Ja + p\rxVdQ (1.2) dt q где J тензор инерции системы тело-жидкость, относительно точки Ох, Мх главный момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно центра инерции, К кинетический момент. Пусть невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как твердого тела относительно оси, параллельной Oz с постоянной угловой скоростью а0. В невозмущенном движении имеем: а = й50 = <уоег, У = 0, Мх = <уохЛуо. Пусть 25 1.3 Задача о вращающемся теле с полостью, полностью заполненной вязкой несжимаемой жидкостью Рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью Q, целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкостью плотности р и вязкости и, в поле массовых сил с потенциалом U. Уравнение движения жидкости записывается во вращающейся системе координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом ^0 + d5x(tyxr) + (t3xr) + 2(fi5xr) + ^ + (KV)r=-lv/’-VC/ + vAP, divV = QeQ, V = QnaS, V = V0{7) при t = 0; где t время, 7 радиус-вектор, отсчитанный отточки О, V = У(7) скорость жидкости в системе координат Oxyz, Р = Р{7) давление в жидкости, WQ абсолютное ускорение точки О, ы = ы(7) абсолютная угловая скорость вращения твердого тела, 5> его угловое ускорение, 5 граница области Q. В системе координат, связанной с телом, уравнение моментов относительно центра инерции О, всей системы имеет вид — + ахК = МХ, K = Ja + p\rxVdQ (1.15) dt ' где J тензор инерции системы тело-жидкость, относительно точки О,, М, главный момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно центра инерции, К кинетический момент. Пусть невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как твердого тела относительно оси, параллельной Oz с постоянной угловой скоростью aQ. 29 |