|
JQ +Q x J(o0+ 5 0x JQ. + p f^ [a nS n + (щ0x an)S J = M (1.12) /!=1 Уравнения (1.10) и (1.12), а так же присоединенных к ним начальные условия для Q(?)полностью описываю динамику тела с жидкостью. Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две задачи, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая задача, сводится к решению краевой задачи (1.6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнения (1.10) и (1.12), и может быть выполнена известными методами аналитически и численно. Если ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно и осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, то уравнения могут быть значительно упрощены. Для динамически симметричного тела скалярное уравнение движения вокруг оси Oz отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. В цилиндрической системе координат уравнения (1.10) и (1.12) примут вид Ag + i(A-C)a>f)g + 2 p Y Jaxn{S,1+i(D0Sn) = M(t), (1.13) л=1 Сг = Мг, NI(Sn-а д ) + = О,(п = 1,2,3...), где Л, С главные моменты инерции системы относительно осей Ох и Оу соответственно, р, q, г проекции угловой скорости Q на оси системы Oxyz, g=p+iq, М =Мх +iMy. 28 |
К — J 6)^ + JQ + p^S„ (/)#„ • n=I После подстановки (1.11) в (1.5), уравнения движения тела с жидкостью приводятся к виду JQ + Qx Ja>0 +<у0 х JQ + +(<у„ xan)5nJ = A/. (1-12) Уравнения (1.10) и (1.12), а также присоединенные к ним начальные условия для Q(/) описывают динамику тела с идеальной жидкостью. Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две задачи, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая задача, сводится к решению краевой задачи (1.6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (1.10) и (1.12), и может быть выполнена известными методами аналитически и численно. Если ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно и осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, то уравнения могут быть значительно упрощены. Для динамически симметричного тела скалярное уравнение движения вокруг оси Oz отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. В цилиндрической системе координат уравнения (1.10) и (1.12) примут вид Ag + i(AC)aog + 2р£ахп fe, + ) = ^ (O’ «=i (1-13) Cr = M2, N2„ (s„ -ад) + axng = 0, (« = 1,2,3...), где A, С главные моменты инерции системы относительно осей Ох и Оу соответственно, р, q, г проекции угловой скорости Q на оси системы Oxyz, g = p + iq, М = Мх+ iM у. (1.11) 28 характеризуют взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости. Поскольку перекрестные коэффициенты инерционных связей атп, Ртп слабо влияют на динамику вязкой жидкости (см. например обсуждения в [17]), пренебрегая ими, оставим только члены с т = п. Если ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно и осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, то уравнения могут быть значительно упрощены. Для динамически симметричного тела скалярное уравнение движения вокруг оси Oz отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. В цилиндрической системе координат уравнения (1.26) и (1.27) принимают вид АО+i(C-А)юйО + 2р£я„(S„ -ia,S„) = СОг = Мг, -r)Sn(T) + fin(t-r)S„(r) (1.28) где А, С главные моменты инерции системы относительно осей Ох и Oz соответственно, O = 0x-i0y, М = M,.-iMy, и а„(/-г), Д, (/-г) находятся из решения краевой задачи (1.6) для конкретного вида полости. Произведем преобразование Лапласа над всеми уравнениями системы (1.13), выразим S„ из каждого Аго уравнения (&>2) и подставим в первое уравнение, получим (1.29) где 33 |