|
§ 2. Устойчивость свободно вращающегося тела с идеальной жидкостью. Выясним условия устойчивости динамически симметричного тела с жидкостью. Отбрасывая в системе (1.13) тривиальное решение для третьей координаты угловой скорости тела в возмущенном движении, запишем эту систему для свободно вращающегося тела. Имеем здесь Q = iQy = p i q , М = М х iM у, ап = р хп. Характеристическое уравнение невозмущенного движения (при М=0) имеет вид (р = IT}, р„ = /Л„) I п п В первом приближении вместо бесконечной суммы можно оставить один главный член (я=1). Тогда имеем Приведем последнее равенство к квадратному уравнению (А = С А) Для устойчивости стационарного вращения необходимо чтобы корни данного уравнения были действительными, а для этого будем требовать, чтобы дискриминант был положительный А й + i(A С)сойО. + а„(Sn+ici)aSn) = M(t), (2.1) £ Atj+(C-A)co0-т](г}-щ)— '— =0. i i \ (2.3) r f ( A E {) + ^ ( A cOq -Д Л ,)-А <у0/11= 0 D = (Aco0+o)QEnАлпУ + 4(A En)Ай)0Лп>0 29 |
1 1 Jp + 2i(o0 ylp-2ia)0 1 j [ Any/v ylp-2ic»o J P Представленные в п. 1.2 и 1.3 результаты получены в работах [17,24,67]. На основе их можно провести анализ устойчивости невозмущенного движения рассматриваемых динамических систем. 1.4 Исследование устойчивости свободного вращения тела с жидким наполнением. Случаи идеальной и вязкой жидкости. 1.4.1 Необходимое условие устойчивости для идеальной жидкости Выясним условия устойчивости динамически симметричного тела с жидкостью. Отбрасывая в системе (1.13) тривиальное решение для третьей координаты угловой скорости тела в возмущенном движении, запишем эту систему для свободно вращающегося тела. Имеем АО. + / (С А) Характеристическое уравнение невозмущенного движения (при М = 0) имеет вид (p = iq, р„= Ц,) (1.31) В первом приближении вместо бесконечной суммы можно оставить один главный член (п = 1). Тогда имеем 34 Arj + (C-A)co0-Tj(}i-(t}0) (П~\) = 0. (132) Приведем последнее равенство к квадратному уравнению (Д = С-А) 772(Л-£,) + ^(Дй?0 + й?0£, ЛЛ,)-Д<уой1 =0 (1.33) Для устойчивости стационарного вращения необходимо чтобы корни данного уравнения были действительными, а для этого будем требовать, чтобы дискриминант был положительный D = (Дй?0 + а0Е„ ААп)2 +4(ЛЕп)&б)0Лп > 0 Приравняем дискриминант к нулю и получим уравнение для границ зоны устойчивости (Д <у0 +а)0Ел-ААп)2+4(А-Е„) Д <у0Л„ = 0 или (д + £+ 4(Я-£)Д—= 0 (1.34) I ыо) Приведем полученное уравнение к квадратному относительно Д, сделаем замену —=Ь„, получим <у0 Д2 + Д (2АЬп + 2£„ 4Е„Ь„) + (Я £„ )2 = 0 D = 4 (Е„ + ЬпА 2ЕпЬп)2 -4(АЬп-Еп}2 = 16£л (1 )6„ (Я £„) Выражения для корней будут иметь вид Д12 = -(^6Й + £„ 2ЕпЪ„) ± 2,jEn (\-Ьп)Ь„(А-Е„) ^2=-En(\-bn)-b„(A-En)±2.jEn(\-b„)=-(yjEn(\-bn) + yjbn(A-En^2 (1.35) 35 |