|
Приравняем дискриминант к нулю и получим уравнение для границ области устойчивости (ДбУ0+сойЕпА Л ) 2+ 4(А -Е п)Асо0Лп= 0 или ( 2 V Д + £ „ Л — V J +4 (^ -£ л)Д— =0 (2.5) Приведем полученное уравнение к квадратному относительно Д, к ъсделаем замену , получим *>0 А + Д(2Л6 + 2£„-4 E b n)(Ab E J = 0 D =4(Еп+ ^ 2£Л )2^ £я)2= 16М„(1£ „ ) Выражения для корней будут иметь вид Д „ =-(АЬ, +£■ 2 £ Д ) ± 2 = ^ Ь ' ) ь м е . ) ± ъ [ Щ № ) = Л [ Щ № ) ± Ы * е У < 2 ' 6 ) Заметим, что оба корня в (2.6) действительные (поскольку bn < 1 и в 0О предельном случае со0 -> 0 из (2.2) следует, что А = А ~ 1 Е п > 0 момент л=1 инерции эквивалентного твердого тела) и отрицательные. Область неустойчивости лежит между кривыми, определяемыми положительным и отрицательным значениями радикала (2.6). Поэтому при А = С А > 0 движение всегда будет устойчивым. Можно показать, что при А < 0 движение всегда будет неустойчивым. Численный анализ показывает, что эти утверждения остаются справедливыми и в общем случае. 30 |
Заметим, что оба корня в (1.35) действительные (поскольку 6Л<1, и в предельном случае при Область неустойчивости лежит между кривыми, определяемыми положительным и отрицательным значениями радикала (1.35). Поэтому при Д=С-Л>0 движение всегда будет устойчивым. Покажем, что при Д<0 движение всегда будет неустойчивым. Вернемся к квадратному уравнению (1.34) для дискриминанта. Решим полученное квадратное уравнение относительно — = Ьп А 2Ь2 п + Ьп (2ДЛ 2ЕпА 4£ЛД) + Д2 + Ег„ + 2 Д£л = 0 (1.36) D = (2ЛА -2ЕпА 4£„Д)2 -4Я2 (д2 + £2 + 2Д£Л) = 16Д£Л (Д + Л)(£„ Л) = = 16Д£лС(£„-Л)>0 Для корней выражения будут иметь вид £„С + Д(£„-Л)±2^Д£лС(£„-^) _(Дс±7д(£.-Я))’ „ А1 ~ А1 ' ’ Оба корня в (1.37) действительные и положительные (Еп<А, Д<0). Поскольку ветви параболы рассматриваемого квадратного уравнения (1.36) направлены вверх, зона неустойчивости соответствует отрезку между корнями (й*,6л 2), что обеспечит отрицательное значение дискриминанта уравнения (1.33). Заметим, что />л 2 —= 1-—<1 при £„ -»0, а поскольку собственные частоты А А Ьп обладают всюду плотным спектром в области бл<1 [76], то всегда можно выбрать действительное значение Ьп из интервала соответствующее неустойчивому вращению тела вокруг оси с наименьшим моментом инерции. 36 |