|
К , = т у + {.X + 1 > 2 + Х у/,+ Y y/,, + ^ 2 + s + ^ 6 (2.5) 2 Г Для определения оптимального управления разрешим сопряженную систему (2.3). Из вида матрицы А т можем сразу выписать выражения для первых двух компонент y/(t) ^ , ( 0 = 2 ш т > п ; ) , ^ 3( о = 2 ( о у( т ) а о2% Оставшиеся компоненты найдем, решив следующую систему Ч',(1) = 2 п т ( П , ( г ) 0 ’) + ч т ч 'Л И (2.6) у/,(<) = -2чт(П,(Т)-Ф-Ч'УЛО. r . W = 2 v ,,>( Q , ( r ) n : ) '7 " V , ( 0 ; Уравнения 1 и 3, 2 и 4 системы (2.6) можно решить независимо; в итоге получим: у/,(1)= 2(П ,(Г ) n ;)(c o s« r О1?"’) 1) 2(£ (/.(О = 2(Q,(T)-n;)(cos((r-O'?'2’) 1 )2 (0 , (Г) П > т ( 7 к,(Г /)) iy ,(f) = 2 ( n j r ) n ; X c o s ( y '" ( r t ) ) l ) + 2 ( Q v( r) -Q ;) s in ( v ',> ( r 0 ) !/,(< ) = 2 ( Q ,( r ) n ;X c o s ( ); u 4 r 0 ) l ) + 2 ( n ,( r ) n ; ) s i n ( 7 ,<1( r 0 ) Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (2.4) и (2.5), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры 0.x(t) и О Д /). Для этого можно воспользоваться системой двух линейных уравнений относительно С2Л(/) и £2Д/)> которая 39 |
Vz3(/) = 2(n>(r)-n’)(coS((r-0^)-l)-2(ni(r)-QJ 0)Sin(7(,)(r-/)) Vz4(/) = 2(n/(r)-Q’)(cos((r-/)^)-l)-2(Qi(r)-fi?)sin(z7<2>(r-/)) ^0 = 2(П,(7’)-П1 о)(со5(^(7’-/))-1)+2(пДГ)-П’)5т(^)(7’-/)) Vz6(0 = 2(^(7’)-fi?)(cos(^)(r-/))-l) + 2(Q>(7’)-n’)sin(^,(7’-/)) Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (2.19) и (2.20), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры ОД?) и ОЛ(Г). Для этого можно воспользоваться системой двух линейных уравнений относительно ОХ(Г) и ОДГ), которая получается из (2.1) и (2.2) при t = T подстановкой в нее выражений (2.19) и (2.20), и найденных решений сопряженной системы (2.18). А именно О, (Г) = JK (r)(y cosfj/0 (Г г))+Ycos(t]{2} (Т г))) с/г + 0 (2.22) + JmJ (т){х sin (Г г)) + к sin (Д2) (Г г)))2.2.2 Аналитическое решение задачи для системы десятого порядка Рассмотрим задачу оптимального управления системой (2.10) (для случая вязкой жидкости) J(M) = (О, (Г)-О?)2 +(□,(Г)-О’)2 + /}(Л/2 (/)+М2 у (t)}dt min, 52 |