|
где М хглавный момент внешних сил относительно центра инерции О ,, J тензор инерции всей системы относительно точки О ,, складывающийся из тензора инерции твердого тела /° и тензора инерции жидкости I относительно той же точки. Тело с полостью, заполненной жидкостью, является гиростатом. Поэтому центр инерции системы О, неподвижен относительно системы координат Оххх 2Х3, связанной с телом, а тензоры 1°, / , J постоянны в этой системе координат. Возмущенное движение твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, будем характеризовать вектором Q (/) так, что угловая скорость тела представляется в виде: (О0 = Й0 +Q (/)> причем угловая скорость Q (/) является величиной первого порядка малости по сравнению с to0. Положим Р = р U и'0 ■г + 1/2 (со х г ) 2 + р (1.3) М, = й 0 х М п + М и будем считать величины V, р , М малыми первого порядка. Здесь М момент внешних сил, действующих на твердое тело (за исключением жидкости). Пренебрегая членами высших порядков малости относительно обобщенных координат, уравнения движения тела жидкости можно записать в виде дУ — + 2Й0 x V + Q x r = V p + уА У , dt (1.4) d iv F = 0 в Q, У = 0 на S, У = У0(Р) при ? = 0. 55 |
В системе координат Оххх2х3 уравнения моментов относительно центра инерции О} всей системы имеет вид —+ = К = Ja + plrxVdQ (1.2) Л i где Ккинетический момент. В качестве невозмущенного движения будем рассматривать равномерное вращение тела с жидкостью относительно оси Оху, проходящей через центр инерции всей системы Ц параллельно оси Ох3, с угловой скоростью сб0 = соД, где к орт оси <9х3. В невозмущенном движении имеем: V = О, Л?1=ю0х7ю0, где Мх главный момент внешних сил относительно центра инерции Ох, J тензор инерции всей системы относительно точки (9j, складывающийся из тензора инерции твердого тела 7° и тензора инерции жидкости 1 относительно той же точки. Тело с полостью, заполненной жидкостью, является гиростатом. Поэтому центр инерции системы Ох неподвижен относительно системы координат Охххух3, связанной с телом, а тензоры 7°, 7, J постоянны в этой системе координат. Возмущенное движение твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, будем характеризовать вектором Й(0 так, что угловая скорость тела представляется в виде: ю0 = Йо + Q(7), причем угловая скорость Q(Z) является величиной первого порядка малости по сравнению с Йо. Положим 147 -U-wQ -r+l/2(Sxr)2 +p , (1-3) мх = d0 x jo0+м и будем считать величины V, р, М малыми первого порядка. Здесь М момент внешних сил, действующих на твердое тело (за исключением жидкости). Пренебрегая членами высших порядков малости относительно обобщенных координат, уравнения движения жидкости можно записать в виде ~ + 25„хЙ + Йхг =-Vp + vAF, dt ° (1.4) divK = 0 в Q, V = Q на S, V = Щг) при z = 0. Аналогично уравнения движения тела с жидкостью можно записать в виде (/ + /0)й+йх(7 + /0)що+щох(/ + /°)й + л ( -л . . (1.5) + pjr х VdQ + pjo5o x(r x V)dQ -M + §M. q e Здесь M момент внешних сил, дМ момент обобщенных сил, обусловленный диссипацией энергии в полости. Уравнения (1.4) и (1.5) вместе с обычными уравнениями движения центра инерции, кинематическими соотношениями и начальными условиями полностью описывают динамику тела с жидкостью. Гидродинамическая часть задачи, сводится к решению краевой задачи на собственные значения 148 |