|
Подставляя (1.12) в (1.5), запишем уравнения движения тела с жидкостью J Q + Q х М 0 + Й0 х J Q + 4(со0 х a n)Sn] = M + Ь М . (1.13) л=1 Уравнения (1.12) и (1.13) при присоединении к ним начальных условий для Q (t) полностью определяют динамику тела с жидкостью. Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две части, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая часть задачи, сводится к решению краевой задачи (1.6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. При этом необходимо вычислить коэффициенты in, ап. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.12) и (1.14) и может быть выполнена известными методами аналитически или численно. При ЬМ = ЬРк = 0 уравнения (1.2) и (1.4) переходят в уравнения возмущенного движения тела с полостью, заполненной идеальной жидкостью, являющейся векторным эквивалентом уравнений, приведенных в работе [85], где даны явные выражения соответствующих коэффициентов. В дальнейшем коэффициенты уравнений движения тела с идеальной жидкостью будем считать известными. Таким образом, задача составления уравнений движения тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, сводится к нахождению обобщенных диссипативных сил ЬРа, Ь М . 2. Рассмотрим случай полости с гладкими стенками и движение жидкости при больших числах Рейнольдса R e » 1. Рассеяние энергии в этом случае происходит в тонком пограничном слое вблизи границы области, занимаемой жидкостью. Скорость диссипации 58 |
Подставим (1.9) и (Г. 10) в (1.4), заменив 2ю0 хУп по формуле 2c50xf = -X/-V Звездочкой обозначена операция комплексного сопряжения. С учетом (1.9) и (1.10) кинетический момент К можно записать в виде £ = У®0 + УП + ^5„(/)й„. (1.12) Подставляя (1.12) в (1.5), запишем уравнения движения тела с жидкостью (113) Л=1 Уравнения (1.11) и (1.13) при присоединении к ним начальных условий для Й(/) полностью определяют динамику тела с жидкостью. Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две части, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая часть задачи, сводится к решению краевой задачи (1.6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. При этом необходимо вычислить коэффициенты ц„, ап. 150 Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.13) и может быть выполнена известными методами аналитически или численно. При Ш = Ы\= 0 уравнения (1.2) и (L4) переходят в уравнения возмущенного движения тела с полостью, заполненной идеальной жидкостью, являющейся векторным эквивалентом уравнений, приведенных в работе [85], где даны явные выражения соответствующих коэффициентов. В дальнейшем коэффициенты уравнений движения тела с идеальной жидкостью будем считать известными. Таким образом, задача составления уравнений движения тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, сводится к нахождению обобщенных диссипативных сил 8РП, ЬМ. 2. Рассмотрим случай полости с гладкими стенками и движение жидкости при больших числах Рейнольдса Re »1. Рассеяние энергии в этом случае происходит в тонком пограничном слое вблизи границы области, занимаемой жидкостью. Скорость диссипации энергии в единице объема жидкости имеет порядок l/V/te вблизи смоченной поверхности S полости. В дальнейшем ограничимся членами порядка l/V7te в выражениях обобщенных диссипативных сил. Так как толщина пограничного слоя мала (порядка \/4Rs ), элемент поверхности S можно отождествить с элементом бесконечной плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное вязкой жидкостью, движущимся со скоростью, равной разности скоростей твердого тела и возмущенного движения идеальной жидкости. 151 (3.1) (и0+от)й + (£° + Дё) + ££Д =Р + 5Р, к=1 (■/" + J, 6) + (2° + L, й) 7(2? + Z, ©) + £ X0kSk = Мо + 8М0, к=1 цк(А +®к^к) + (Ч>^) + (Чк>®) = &^к> № = 1,2,...). Здесь mQ,fnмассы твердого тела и жидкости, JQ,J симметричные тензоры инерции тела и присоединенных моментов инерции жидкости, L°,L антисимметричные тензоры статических моментов тела и жидкости, L°, L тензоры, сопряженные с I?,L, L°, L тензоры, характеризующие моменты массовых сил, действующих в невозмущенном движении, Хк, Хок векторы, характеризующие инерционные связи между движениями тела и волновыми движениями жидкости, 6Р, 8М0, 8Рк обобщенные силы, обусловленные диссипацией энергии в полости. При 8Р = 6МО = бРк = 0 уравнения (3.1) переходят в уравнения возмущенного движения тела с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью работы [85]. В дальнейшем коэффициенты уравнений движения тела с идеальной жидкостью будем считать известными. Таким образом, задача составления уравнений движения тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью, сводится к нахождению обобщенных диссипативных сил 6Р, ЬМ0, 6Pk. Пусть полость с гладкими стенками имеет т ребер, которые образованы элементами поверхностей, ортогональных поверхности полости S. Будем полагать, что ширина ребра Ь, отсчитываемая по нормали к поверхности полости, мала по сравнению с характерным 204 |