(/+ /°)Й +пх (/+ /°)S0+a, X(/+ /°)П+ X [ад +(s„ х a js,}= м П=1 IVSn + л/v/k J(f x ) '2[an(t x)Sn(x) + pn(/ T)Sn(x)] dx iXnSn >+ (1.22) 00 t + апП = T) k „ (?T)5n(x) + pmn(/ x)Sn(x)JA, m=l о г д е а п = a nn/jxn, P „ = P nnA v « = 1,2,3... Коэффициенты P n, (3mn, a n, a mn бесконечной системы интегродифференциальных уравнений (1.22), связанные с диссипацией энергии в полости, определяются соотношениями (1.18), (1.19) и выражены через решения тех же краевых задач, что и коэффициенты уравнений движения тела с идеальной жидкостью работы [85]. Систему уравнений (1.22) можно рассматривать как уравнения Лагранжа 2го рода, в которых H j, S k ( j = 1 ,2 ,3 ; к 1,2,...) играют роль обобщенных координат. Система уравнений (1.22) позволяет рассматривать режимы, когда на тело действуют произвольные управляющие моменты. Огметим, что задачи динамики вращательных движений тела с полостью, содержащей жидкость, рассматривались в ряде работ. При этом задачи динамики вращающейся жидкости выдвигают ряд сложных проблем чисто математического характера. Некоторые из них исследовались в упомянутых работах, но ряд вопросов, особенно в случае вязкой жидкости, требует дальнейшего изучения. Цель данной главы состоит в том, чтобы провести, насколько это возможно, разделение задачи движения тела с жидкостью на гидродинамическую и динамическую части задачи. Первая из них сводится к расчету некоторых функций, зависящих от формы полости, и тензоров, 61 |
(/ + 70)й + Йх(/ + /1>)й0 + й0х(/ + /0)й + Хк^+(й0хап)5„]=М n=l И„p„ + л/Ф j 0'^к(*т)йМ + P„(**)£„м]'к к j + (1.22) + а А = I к,„ (‘ ТК W + Ртп (1 T)S„ w] Л, m=l о гдеа„ =а„п/и„1 Р„=Р„/цп1 и = 1,2,3... Коэффициенты pn, р1тт, ап, ап1П бесконечной системы интегро-дифференциальных уравнений (1.22), связанные с диссипацией энергии в полости, определяются соотношениями (1.18), (1.19) и выражены через решения тех же краевых задач, что и коэффициенты уравнений движения тела с идеальной жидкостью работы [85]. Систему уравнений (1.22) можно рассматривать как уравнения Лагранжа 2-го рода, в которых 5к (у =1,2,3; к = 1,2,...) играют роль обобщенных координат. Система уравнений (1.22) позволяет рассматривать режимы, когда на тело действуют произвольные управляющие моменты. Отметим, что задачи динамики вращательных движений тела с полостью, содержащей жидкость, рассматривались в ряде работ. При этом задачи динамики вращающейся жидкости выдвигают ряд сложных проблем чисто математического характера. Некоторые из них исследовались в упомянутых работах, но ряд вопросов, особенно в случае вязкой жидкости, требует дальнейшего изучения. Цель, данной главы состоит в том, чтобы провести, насколько это 154 возможно, разделение задачи движения тела с жидкостью на гидродинамическую и динамическую части задачи. Первая из них сводится к расчету некоторых функций, зависящих от формы полости, и тензоров, выражающихся через эти функции. Вторая часть задачи исследование движения тела использует лишь указанные тензоры, характеризующие воздействие жидкости на тело. § 2. Коэффициенты инерционных связей твердого тела с жидкостью (цилиндрическая полость) В этом параграфе вычисляются коэффициенты, характеризующие взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости: amn, pw/J, ця, an. Краевая задача для функций (ря(х7,х2,х5) в соответствии с уравнениями (1.6) предыдущего параграфа запишется в следующем виде: , а2<р„ дх2 д2ф„ дх* ^4 дх2; О в Q, дх2 V, + д2(р„ д2(ри (2.1) дх? ° дх2 1 дх2 2 на 5. + -^ + (l-zO Здесь Vj, v2 направляющие косинусы единичного вектора v внешней нормали к поверхности S, %„ = /ая. При этом векторные функции Kw(x7,x2,x2), определяемые соотношением = 2о) ^2 [хЛ х V(P« Vcpw)} (2.2) 155 |