В случае осесимметричной полости гидростатический момент идеальной жидкости относительно оси симметрии равен нулю, и скалярное уравнение движения вокруг оси 0 х 3 отделяется от остальных. Уравнения вращения тела относительно поперечных осей Ох, и О х2 идентичны. Введем цилиндрическую систему координат X j = R cosG, x2 R s in 0, x3 =z. Функции ф„(х;,х2,х 3) представим в виде произведения Ф„ = £ „(* .-Юе". Такое представление естественно, т.к. при остальных гармониках по круговой координате 0 коэффициенты ап обращаются в нуль, т.е. в данной механической системе не возбуждаются [76]. Функция g n( z , R ) должна, согласно (2.1), удовлетворять двумерной краевой задаче с вещественными коэффициентами ^ g n 1 dg„ л d R 2 R d R R 1 n) d z 2 ’ (2.4) n . ) v l t ( ' # v z = 0 , oR dR J dz Первое уравнение (2.4) должно удовлетворяться в меридиональном сечении G полости, второена границе этого сечения. Здесь V = (v ^ ,v 6,v z) единичный вектор внешней нормали к поверхности S . Пусть полость Q цилиндр единичного радиуса с высотой l h . Q = {(R,Q,z); 0 < 7 ? < 1 ; О < 0 < 2 д ; h < z < h }. Решение краевой задачи (2.4) известно [67] 64 |
обладают свойством ортогональности в Q. В соответствии с формулами (1.5), (1.13) и (1.14) предыдущего параграфа выпишем выражения гидродинамических коэффициентов. р,,=рЖл'Ш Q Q а„„ = Р J (С • [К, cos[2(S0, vX< т)]+ (Й„ х v) sin[2(S„, v)(z t)J ) dS ,(2.3) s P™ = pf2(®0,v)r;[k„sm[2(ffl0,vX/т)]-x v)cos[2(S„,vX<-t)]]dS, (m,n = 1,2,...). В случае осесимметричной полости гидростатический момент идеальной жидкости относительно оси симметрии равен нулю, и скалярное уравнение движения вокруг оси Ох3 отделяется от остальных. Уравнения вращения тела относительно поперечных осей Ох, и Ох2 идентичны. Введем цилиндрическую систему координат x7 = T?cos0, x2 = T?sin0, x3=z. Функции ф,;(х7,х2,х5) представим в виде произведения <Р„ =&(г,Л)е'е. Такое представление естественно, т.к. при остальных гармониках по круговой координате 0 коэффициенты ап обращаются в нуль, т.е. в данной механической системе не возбуждаются [76]. Функция gn(z,R) должна, согласно (2.1), удовлетворять двумерной краевой задаче с вещественными коэффициентами 156 (2.4) Первое уравнение (2.4) должно удовлетворяться в меридиональном .сечении G полости, второена границе этого сечения. Здесь v = (v^,ve,vj единичный вектор внешней нормали к поверхности S. Пусть полость Q цилиндр единичного радиуса с высотой 2h. 2 = {(Л,е,г); 0<Л<1; 0<6<2д; -h Индекс п представляет собой всевозможные сочетания порядковых номеров продольных и поперечных гармоник I и р. Величина £>1р является р -м корнем уравнения ^;© + хЛ© = 0 или 57„©-[l±V5M+l]^© = 0, (2.6) где Jq(Q и Jj(Q функции Бесселя. Формулу (2.3) для вычисления коэффициентов атп представим в виде суммы двух интегралов 157 |