|
При v = 0 и замене р = /Г для устойчивости стационарного вращения все корни Г} должны быть действительными. Как показывает численный анализ [52] в первом приближении вместо бесконечной суммы можно оставить один главный член (п = 1). Уравнения границ области устойчивости удовлетворяют следующим равенствам: Д = С -Л = £ , Ч Л 2 £ , ) ± 1/(Л -Е 1)Я,2-(х 1-2 ), (3.17) X, X, причем область неустойчивости лежит между кривыми, определяемыми положительными и отрицательными значениями радикала. Из выражения (3.17) следует, что вращение тела будет устойчивым при С > А, т.е. когда тело вращается вокруг оси с наибольшим моментом инерции. В соответствии с вышесказанным оставим в бесконечной сумме из уравнения (3.15) один член и произведем замены Р =Щ, Рп =1К + Запишем характеристическое уравнение в виде: L\\ ~ i L 2] А ц + (С А)(й0 г(г со0) г — = 0 7 (Л —Л.,) —Vv/5j (3.18) или в более удобной форме: Аг) + ( С А ) ю 0 B& IZ g o) £ J 1+ д/v Л -А ч Обозначим далее V а , /(3[ + i V г \ Х 1у = 0. (3.19) Д = а , -/(3, + / Л ^ . у Будем искать поправку к корню, обусловленную вязкостью, методом теории возмущений. Пусть Т)°корень характеристического уравнения с идеальной жидкостью: 74 |
При v = 0 и замене р = zrj для устойчивости стационарного вращения все корни ц должны быть действительными. Как показывает численный анализ [76] в первом приближении вместо бесконечной суммы можно оставить один главный член (и = 1). Уравнения границ области устойчивости удовлетворяют следующим равенствам: Д = С-Л = -£1-(//-2£1)+ -7(Л-£,)£1 2-(Х,-2), (5.17) X, X, причем область неустойчивости лежит между кривыми, определяемыми положительными и отрицательными значениями радикала. Из выражения (5.17) следует, что вращение тела будет устойчивым при С>А, т.е. когда тело вращается вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Докажем, что свободное вращение тела с осесимметричной полостью, вокруг оси наименьшего момента инерции (А < 0) будет всегда неустойчиво. Рассматривая в уравнении (5.15) при v = 0 предельный случай ю0 -» 0, можно показать, что величина равна моменту инерции эквивалентного твердого тела, введенного Н.Е. Жуковским в работе [5]. Ввиду того, что бесконечная сумма ^Еп ограничена п величиной момента инерции А, можно предположить возможность редуцирования бесконечной системы (5.15). Запишем характерис181 |