|
83 обозначена как С, а в двойственной как А). Инвариант выражается соотношением, которое связывает матрицы преобразования двойственных сетей: С (С, С)-' С, + А (А, А)-1 А, = I, (1) где I единичная матрица. Такая закономерность отличается от известной ортогональности матриц преобразования: С, = (А)'1 (их подматрицы представляют собой цикломатическую матрицу и матриц}' разрезов из теории графов). Инвариант имеет вид (1) для единичных весов ветвей (метрических коэффициентов). Если веса не единичны, то и метрическая матрица неединичная и соотношение (1) принимает более общий вид, включающий метрическую матрицу. Таким образом, эта закономерность связывает метрику и структуру в пространстве сети. Простейшая сеть с двойственной структурой это одна ветвь с замкнутой и разомкнутой частями. Каждая разомкнутая ветвь имеет два узла на концах, а каждая замкнутая один узел. Обозначим количество ветвей через п, узлов J, подсетей s, линейно независимых замкнутых путей (контуров) т, а разомкнутых j. Для каждой схемы соединения ветвей значения этих параметров связаны: j = J-s, (2) n = m+j (3) Соотношениям (2) и (3) удовлетворяет одна комбинация параметров такой ветви: п = 2, s = 2, J = 3, j = 1, m = 1, поэтому в такой ветви существуют две независимые подсети, как бы в разных пространствах; при этом в разомкнутом пути есть два узла, а в контуре один узел. При размыкании контура узел размыкания разделяется на два; одновременно в двойственной части ветви два узла соединяются в один, превращая разомкнутый путь в контур и наоборот. Это единственное преобразование структуры с одной ветвью. В данном случае параметры n, J, s, j, m постоянны при преобразованиях связей сети, состоящей из одной ветви в пространстве удвоенной размерности. При изменении структуры сетей, состоящих из многих ветвей, постоянны параметры (n, j, m), поскольку каждая ветвь подчиняется тем же законам. Если одна часть ветви включена в контур данной сети, то другая часть в разомкнутый путь двойственной сети. Сумма узлов может меняться при изменении числа подсетей. Путь это множество элементов сети (ветвей). Порядок перечисления ветвей задает |
159 -lC (Ct С)-1 Ct + A (At A)'1 At = I, (1) где I единичная матрица. Такая закономерность отличается от известной ортогональности матриц преобразования: Ct = (А)'1 (их подматрицы представляют собой цикломатическую матрицу и матрицу теории графов). Инвариант имеет вид (1) для единичных весов ветвей (метрических коэффициентов). Если веса не единичны, то и метрическая матрица неединичная, и соотношение (1) принимает более общий вид, включающий метрическую матрицу. Таким образом, эта закономерность связывает метрику и структуру в пространстве сети. Ниже (рис.3.1) представлен пример сети из четырех свободных ветвей и четырех связанных ветвей. Пути в сети из четырех свободных ветвей на рис.3.1б обозначены как ра, а пути юзанных принимают значения от 1 до 4, перечисляя все пути. В свободной сети пути совпадают направлением ветвей. Если выразить пути в связанной сети через пути в свободной сети, рь Са Ра, то коэффициенты при путях-ветвях имеют вид матрицыь преобразования Сьа: b а Сь Pl Р2 Рз Р4 1 1 -1 1 1 1 -1 а Сь а это матрица путей в сети отдельных, свободных ветвей в пути в сети связанных ветвей. Обратное выражение путей в связанной сети через пути свободных ветвей, т.е. фактически через ветви, а также их матрица преобразования, имеют вид: В А Pl = bi = Р2' Pi Р2 = ь2 = Pi' с? = р2 Рз = Ьз = -Pi' + р2 + рз' Рз Р4 = Ь4 = -Pi' + р2' + Рз' Р4' Р4 pa “ a Pb J J m m 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 |