|
35 и известны соотношения F(x) = [ф(х / л/2j / 2 +1 / 2, F(х) = l / 2 фх / л/2j / 2j , Ф(х) = Jexp(z2)dz, vTCо которая может быть использована для оптимизации характеристик распознающей системы,заключающейся в отыскании объемов ш* и п* обучающих и контрольной выборок, минимизирующих критерий и удовлетворяющих ограничениям Ь;(п, т , а,(3) на допустимые объемы выборок и вероятности ошибок [148]: р = 2m + п —» т т ; а = (3= — ф{ае4т / 2 ф аЕ/^2л1\ / т + 2 / njl < а* = Р* (1-18) ф ф Объемы т и п , являющиеся решением задачи (1.18), называют оптимальными. При каждом выбранном аЕоптимальные значения объемов т и п могут быть найдены стандартными методами целочисленного программирования [153]. В [148] предлагается более простая методика решения данной задачи Ф Ф оптимизации. Используя инвариантность решения ( m , n ) задачи (1.18) относительно умножения критерия на положительное число, задача оптимизации переписывается в следующем виде: а2(2т + п) —>•min фаЕл/т/2-Ф аЕ/ 2*^(1/т) + 2/п > 1 2 а \ (1-19) Разрешая уравнение ф(л/х/2)-Ф1/2-Л/(1/х) + 2/у] = 1-2а* (1.20) относительно у 8х2f2 1 У 2а*)/ф(л/х/2) x 4 f 2 1 2а*)/ф(л/х/2)]’ (1.21) где f [t] = Ф-1(t), и выясняя следующие свойства функции (1.21): 1) область определения G: 4f 2L / l2 a j < х < 00, 2 ) lim у = со, x-»4f2(^/l-2a*J+0 3)(Эу/Эх)<0, x e G , 4) (S2y /3 x 2)>0, x eG , и учитывая монотонность и непрерывность функций ф(х) и Ф-1(х), показано, что если х0 и у0 являются решениями нижеследующей задачи оптимизации в классе непрерывных функций: 2х + у -» min, х.У |
Оптимизация временных характеристик системы распознавания 42 номерных нормальных Рассмотрим оптимизацию характеристик системы распознавания одномерных нормальных совокупностей Sj и s2 с неизвестными средними значениями а1 и а, и общей известной дисперсией а 2, основываясь на теоретических результа2 тах, полученных в [85] для ошибок распознавания первого и второго рода а и р . Поскольку в рассматриваемом случае размерность признакового пространства р = 1, в процессе оптимизации минимизируется суммарный объем р обучающих и контрольных выборок (то есть общее количество р требуемых для распознавания наблюдений), необходимый для достижения заданного уровня достоверности (непревышения вероятностями ошибок а и Р их верхних границ а и Р ) при заданном ограничении, заключающемся в том, что нормированная разность между средними значениями совокупностей (а2-аЛ/су должна быть не меньше некоторого минимального значения аЕ> 0, в качестве которого, как было сказано ранее, целесообразно взять точность измерения этой разности в реальных системах. Выражение для суммарного объема обучающих и контрольной выборок р, получающееся из (1.13) при К = 2, m, = m2 = т , b = 1 и, поскольку рассматривается одномерный случай, р = 1, имеет вид р = 2m+ п Для наиболее часто применяемого на практике критерия максимального правдоподобия и одинаковых размерах обучающих выборок вероятности ошибок распознавания равны между друг другу и выражаются через табулированную функцию ошибокФ(х) в соответствии с формулой [82, (2.17)] а = Р = F (-a /a 2)-F(a/a1)+ F(a/a2)-F(-a/a 1 Ф 2 2 а где а = (а2а 1) /а , а, = ^4 / п +1 / тх+1 / т2, <т2= *Jl/ mt +1/ т2, и известны соотношения F(x) = [o(x/V2j/2] + l/2, F(х) = fl / 2 фх / л/2j / 2J, ф(х) = ~ (ехр(—z2)dz, V t c 0J v 7 которая может быть использована для оптимизации характеристик распознающей ф ф системы, заключающейся в отыскании объемов ш и п обучающих и контрольной выборок, минимизирующих критерий и удовлетворяющих ограничениям Ь4(п, m, а, Р) на допустимые объемы выборок и вероятности ошибок [83]: р = 2m + п —»т т ; а = Р = — фа6Vm/2j®fag/(2л/1/т +2/п <а* =Р* (1.18) 2 2 г 43 Объемы ш и п , являющиеся решением задачи (1.18), называют оптимальными. * * При каждом выбранном аЕоптимальные значения объемов ш и п могут быть найдены стандартными методами целочисленного программирования [88]. В [83] предлагается более простая методика решения данной задачи опти$ ф мизации. Используя инвариантность решения (ш , п ) задачи (1.18) относительно умножения критерия на положительное число, задача оптимизации переписывается в следующем виде: a2(2m+ n) -» min ф(аЕ7 т /2 ) Ф а Е/2-^(1/т) + 2/п > 1 2 а \ (1.19) Разрешая уравнение ф(л/^/2)-ф[1/2-Л/(1/х) + 2/у]=1-2а* (1.20) относительно у 8х2f2 1 У 2а*)/ф(л/х/2)1 х-4^Г(1-2а*)/ф(л/х/2)Г (1.21) где f [t] = Ф ‘(t), и выясняя следующие свойства функции (1.21): 1)область определения G: 4 f2 /1-2а")<х<оо, 2) lim__ у = оо, x-»4f2f J l 2 a 1+0 3)(5у/Эх)<0, xeG, 4) (д2у / dx2J>0, xeG, и учитывая монотонность и непрерывность функций Ф(х) и Ф_1(х), показано, что если х0 и у0 являются решениями нижеследующей задачи оптимизации в классе непрерывных функций: 2х + у -» min, х,у 8х2f2 1 У 2а*)/ф(л/х/2)] х 4 f2Г(12а*) / ф(л/х / 2)1 ’ (1.22) то с достаточной для практических приложении точностью в качестве решения (m*, n*j задачи (1.19) можно принять * m хо где [t] целая часть t. /ц 2]+ 1, п* = [у0/ц Е]+ 1, (1.23) Задача (1.22) сводится к задаче минимизации функции одной переменной min(2x + y) = min2x2/ х -4 £ 2((1-2а*)/ф(л/х/2) , (1-24) х.у решаемой стандартными методами оптимизации [60]. |