|
Такая функция достаточно просто и однозначно описывается четырьмя реперными точками {х\, хг, хъ, х*}. Четырехреперное представление, с одной стороны, значительно уменьшает количество вычислений при выполнении арифметических операций, с другой стороны, снижает неопределенность итоговых результатов. Последняя является следствием самой природы интервальной и нечетко-интервальной арифметик, характеризующихся неизбежным ростом ширины результирующих интервалов с увеличением числа промежуточных арифметических операций с интервальными и нечетко-интервальными числами. При таком подходе возникает необходимость приведения нечеткоинтервального числа к четырехреперному виду. Эту задачу можно решить любым стандартным методом аппроксимации. В конкретных задачах будет применяться метод наименьших квадратов и аппроксимировать боковые грани нечетко-интервальных чисел прямыми с максимальной степенью приближения к исходным значениям. При этом оптимальная аппроксимация будет соответствовать минимальной сумме квадратов разностей длин ауровней исходного и аппроксимированного нечетко-интервального числа. В программной реализации такого подхода будет использоваться метод / покоординатного спуска. При определенной длине нижнего a-уровня с небольшим шагом буду изменять верхний a-уровень до получения наименьшей суммы квадратов разностей длин a-уровней, затем фиксировать длину верхнего a-уровня и изменять нижний а-уровень и т.д. Процесс поиска решения закончу в том случае, когда любое изменение длин верхнего или нижнего a-уровней буду приводить к увеличению суммы квадратов. В случае сложных функций распределения f(x) рассмотренный способ трансформации f(x) в p(x) может вызывать определенные технические проблемы, для решения которых целесообразно переходить к H v )= J/(.v)rf* интегрированному распределению вероятностей , сглаживающим характеристики неопределенностей. 105 |
На рис. 2.4 графически проиллюстрирована процедура трансформации f(х) в µ(х), сохраняющая качественную и количественную информацию о размерах и расположениях доверительных интервалов распределения вероятности на α-уровнях нечетко-интервальных чисел. Очевидно, что чем гуще сетка α-уровней, тем точнее результат трансформации. f(x) доверительные интервалы x µ(x) α уровни x 1 0.6 0.3 0 Рис. 2.4. Схема трансформации f(x) в µ(x) Такой способ трансформации f(x) соответствует рассмотренной в главе I методологии построения нечетко-интервальной математики, сводящейся к разложению нечетких интервалов на составляющие α-уровни и дальнейшему оперированию с ними в рамках интервальной математики. Как показывает опыт, в большинстве практических приложений нечеткоинтервального моделирования оказывается достаточным иметь информацию только о двух интервалах, соответствующих α-уровням: основании интервала (µ(х) = 0) и интервале наиболее возможных значений (µ(х) = 1). Поэтому в базовом варианте далее будем аппроксимировать получаемые нечеткие интервалы трапецеидальными функциями принадлежности (рис. 2.2). Такая функция достаточно просто и однозначно описывается четырьмя реперными точками {x1, x2, x3, x4}. Четырехреперное представление, с одной стороны, значительно уменьшает количество вычислений при выполнении арифметических операций, с другой стороны, снижает неопределенность итоговых результатов. Последняя является следствием самой природы интервальной и нечетко-интервальной арифметик, характеризующихся неизбежным ростом ширины результирующих интервалов с увеличением числа промежуточных арифметических операций с интервальными и нечетко-интервальными числами. При таком подходе возникает необходимость приведения нечетко-интервального числа к четырехреперному виду. Эту задачу можно решить любым стандартным методом аппроксимации. В конкретных задачах будем применять метод наименьших квадратов и аппроксимировать боковые грани нечетко-интервальных чисел прямыми с максимальной степенью приближения к исходным значениям. При этом оптимальная аппроксимация будет соответствовать минимальной сумме квадратов разностей длин α-уровней исходного и аппроксимированного нечетко-интервального числа. В программной реализации такого подхода будем использовать метод покоординатного спуска. При определенной длине нижнего α-уровня с небольшим шагом будем изменять верхний α-уровень до получения наименьшей суммы квадратов разностей длин α-уровней, затем фиксировать длину верхнего α-уровня и изменять нижний α-уровень и т.д. Процесс поиска решения закончим в том случае, когда любое изменение длин верхнего или нижнего α-уровней будет приводить к увеличению суммы квадратов. В случае сложных функций распределения f(x) рассмотренный способ трансформации f(х) в µ(х) может вызывать определенные технические проблемы, для решения которых целесообразно переходить к интегрированному распределению вероятностей ( ) ( )∫∞− = x dxxfxF , сглаживающим характеристики неопределенностей. Приведем также еще одну методику трансформации частотных распределений в нечеткие интервалы, которая позволяет сохранить информацию о длинах доверительных интервалов. Методика обладает рядом достоинств, к которым можно отнести простоту реализации и получение хороших результатов при сложных законах распределения случайных величин. В рамках этого подхода трансформация частотного распределения в нечеткоинтервальную форму проводится с использованием доверительных интервалов в следующей последовательности: на основе исходных частотных распределений строится кумулятивная кривая, общий вид которой представлен на рис. 2.5.; |