|
пространство называется фильтрованным вероятностным пространством (или вероятностным пространством с фильтрацией, генерируемой броуновским движением). Фильтрация удовлетворяет стандартным условиям: (А, )/>0 является правосторонней фильтрацией и At содержит все Р нулевые множества в А . Детерминированная безрисковая процентная ставка в экономике равна г, а тенденция а геометрического броуновского движения удовлетворяет условию а < г . Фирма характеризуется нейтральным отношением к риску и максимизирует стоимость опциона инвестирования F {v), выбирая пороговое значение V, при котором проект инвестируется. Поскольку промежуточные платежи владельцу опциона инвестирования отсутствуют, уравнение Беллмана в области продолжения решения (т.е. перед исполнением опциона) может быть записало следующим образом rFdt = E [dF (v)\ (1.2) где Е оператор математического ожидания. Уравнение (1.2) означает, что для фирмы, нейтрально относящейся к риску, о скорость изменения стоимости возможности инвестирования в течение временного интервала dt равняется безрисковой процентной ставке. Применяя лемму Ито к правой части уравнения (1.2) и деля обе части полученного уравнения на dt, приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению 1 2т,2d2F ,rdF —а V — T+aV— 2 dV 2 dV rF = —cr V — ¥ + a V — . (1.3) Общее решение этого уравнения имеет вид F (V )= Л У А + A2Vh , (1.4) где А{ и А2 постоянные, а Д и рг, определяются выражениями 45 |
50 Формальной моделью анализа эволюции неопределенности, с которой сталкивается инвестор при принятии решения об инвестировании, является вероятностное пространство (С2,Л,Р) совокупность трех объектов пространства элементарных событий Q, а-алгебры А подмножеств пространства Q , представляющей измеримые события, и вероятностной меры Р{а), определенной для ае А, для которой Р (0 )-\. Так как время и динамика являются неотъемлемыми компонентами финансовой теории, то целесообразно считать пространство (С1,А,Р) наделенным специальной структурой: потоком с-алгебр (At )t>0. Получающееся таким образом пространство называется фильтрованным вероятностным пространством (или вероятностным пространством с фильтрацией, генерируемой броуновским движением). Фильтрация удовлетворяет стандартным условиям: (лД>о является правосторонней фильтрацией и А, содержит все рнулевые множества в А. Детерминированная безрисковая процентная ставка в экономике равна г, а тенденция а геометрического броуновского движения удовлетворяет условию а <г . Фирма характеризуется нейтральным отношением к риску и максимизирует стоимость опциона инвестирования F (v), выбирая пороговое значение V , при котором проект инвестируется. Поскольку промежуточные платежи владельцу опциона инвестирования отсутствуют, уравнение Беллмана в области продолжения решения (т.е. перед исполнением опциона) может быть записано следующим образом rFdt =E[dF(v)], (2) где Е оператор математического ожидания. Уравнение (2) означает, что для фирмы, нейтрально относящейся к риску, скорость изменения стоимости возможности инвестирования в течение временного интервала dt равняется безрисковой процентной ставке. |