|
25 /?, = У{/У^\ -1, (1.1) в на^ной литературе получил название «простого чистого дохода» (51гпр1е пе1 геШгп). Темп роста цены, определяемый как 0( = У(/Ум = I + К( (1.2) называется «простым валовым доходом» ($1тр1е §гозз геШгп). Легко видеть, что валовый доход за к периодов от момента 1-к до /, обозначаемый через (к) = 1 + К( (&), рассчитывается как произведение однопериодных доходов &(*) = ! + /?,(*) = */-*+! К-к+2 Уг-А У,-к+\ (1+/?/„А+1)...(1+/?/)=а^,...а.(1.з) В свою очередь, чистый доход за к периодов определяется как валовой доход за этот интервал времени минус единица, т. с. К, (к) = У(/У(^ \ = ()1{к)-\.{\А) Существует, по крайней мере, две причины, по которым отдается предпочтение временным рядам доходов по сравнению с рядами цен. Во-первых, есть основание предполагать, что для инвесторов финансовые рынки представляются достаточно совершенными механизмами, в том смысле, что уровень цен на них не зависит от размера инвестиций. В такой ситуации привлекательность вложений капитала не зависит от вида товара и этого определяется величиной дохода, а не уровнем его цены. Во-вторых, свойства временных рядов доходов, как правило, предпочтительнее с точки зрения статистики. Им, например, в большей мере присуща стационарность, чем рядам цен. Однако, взаимосвязи между однопериодными доходами и доходом за объединенный период, выраженные произведением (1.3), также не очень удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за к периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение. Вместе с тем, математическая статистика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют «непрерывно составными доходами» (сопЦпиоиз1у сотроипсЫ геЩтз) или «геометрическими доходностями». Обозначим логарифмический доход в момент / через д, = 1п(1 + К() = 1п0,. Легко видеть, что |
предположим, что за период (1-1, I) его владелец не получит дивидендов. Темп прироста цены за интервал (1-1,1) рассчитанный как к,=7^-1. (1.1) Г1-\ в научной литературе получил название "простого чистого дохода'’ ($1тр1е пе1 геШгп). Темп роста цены, определяемый как Й=тг= 1 + К(> (1-2) ч-\ называется ‘‘простым вазовым доходом" ($1тр1е ^го$5 геШт). Легко видеть, что вазовый доход за к периодов от момента 1-к до /, обозначенный через 0,(к)^\~Я;{к). рассчитывается как произведение однопериодных доходов 29 Ь-А-+2 у, *1-к+1 У,-1 ( 1 3 ) (А-Ач-1--а (?,(*) = ! +Я,(*) В свою очередь, чистый доход за к периодов определяется как вазовый доход за этот интерваз времени минус единица, т. е. Я,(*) = т^— 1=Й(*)“1. (1-4) *!-к Существует по крайней мере две причины, по которым отдается предпочтение временным рядам доходов по сравнению с рядами цен. Вопервых, есть основание предполагать, что для инвесторов финансовые рынки представляются достаточно совершенными механизмами, в том смысле, что уровень цен на них не зависит от размера инвестиций. В такой ситуации привлекательность вложений капитана не зависит от вида товара и вследствие этого определяется величиной дохода, а не уровнем его цены. Во-вторых, свойства временных рядов доходов, как правило, предпочтительнее с точки зрения статистики. Им, например, в большей мере присуща стационарность, чем рядам цен. »■ *> Однако, взаимосвязи между однопериодными доходами и доходом за объединенный период, выраженные произведением (1.3). также не очень удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за к периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение. Вместе с тем, математическая статистика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют “непрерывно составными доходами" (сопипиои$1у сотроипёес! ге(ит$) или “геометрическими доходностями". Обозначим логарифмический доход в момент I через <уг=1п( 1 +/?,)=1п (),. Легко видеть, что между его уровнем и исходными ценами существует достаточно простая взаимосвязь, выражаемая следующим соотношением 4,=^-— = У,-ум. (1.5) Ч-\ где у, = 1п Уг. Преимущества показателя г/, перед О, становятся очевидными при рассмотрении логарифмического дохода за к периодов Ч'{к) = \п(1 + К,{к))==\п({\ + К,_ы)...(\ + К,))=д1_ы+... + д1. (1.6) Из выражения (1 6) вытекает, что логарифмический доход за к периодов является арифметической суммой однопериодных логарифмических доходов. Для некоторых финансовых показателей использование геометрической доходности особенно удобно. Например, обменные валютные курсы могут быть выражены через каждую из двух валют для каждой пары: курс доллара в рублях или курс рубля в долларах. Распределения геометрической доходности любого этих курсов абсолютно симметричны, чего нельзя сказать о распределениях арифметической доходности. Использование геометрической доходности также удобно при __ конвертации. Например, если инвестор хочет измерять доходность в евро, то 30 |