|
26 между его уровнем , и исходными ценами существует достаточно простая взаимоПреимущества показателя перед <2,, становятся очевидными при рассмотрении логарифмического дохода за к периодов Из выражения (1.6) вытекает, что логарифмический доход за к периодов является арифметической суммой однопериодных логарифмических доходов. Для некоторых финансовых показателей использование геометрической доходности особенно удобно. Например, обменные валютные курсы могут быть выражены через каждую из двух валют для каждой пары: курс доллара в рублях или курс рубля в долларах. Распределения геометрической доходности любого этих курсов абсолютно симметричны, чего нельзя сказать о распределениях арифметической доходности. Использование геометрической доходности также удобно при конвертации. Например, если инвестор хочет измерять доходность в евро, то она может быть выведена из данных, при получении которых базовой валютой был доллар: 1п(Отношение курсов евро к рублю)=1п(Отношенис курсов евро к доллару)+ +1п(Отношение курсов рубля к доллару). В этом случае геометрическая доходность, выраженная в евро, просто равна разности геометрической доходности рубля, выраженной в долларах, и геометрической доходности евро, выраженной в долларах. Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых "портфелей", представляющих собой взвешенную (в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.). Если / -я позиция такого портфеля имеет вес (долю) соп тогда чистый доход от портфеля определяется связь, выражаемая соотношением = 1п (У/У^\) = у( у(.\, (1.5), где у( 1п У1. Ч, (*) = 1п(1 + К, (к)) = 1п((1 + К_м)...(! + К,)) = д,_к+1 +... + «,. (1.6) как взвешенная сумма доходов различных активов К( = .(1.7) /»1 В то же время логарифмические доходы не представляют такой возмож |
»■ *> Однако, взаимосвязи между однопериодными доходами и доходом за объединенный период, выраженные произведением (1.3). также не очень удобны с точки зрения статистического анализа. В частности, усредненный за к периодов доход в этом случае рассчитывается как среднегеометрическое значение. Вместе с тем, математическая статистика в большей степени оперирует среднеарифметическими показателями. Такую возможность представляет использование логарифмов доходов, которые называют “непрерывно составными доходами" (сопипиои$1у сотроипёес! ге(ит$) или “геометрическими доходностями". Обозначим логарифмический доход в момент I через <уг=1п( 1 +/?,)=1п (),. Легко видеть, что между его уровнем и исходными ценами существует достаточно простая взаимосвязь, выражаемая следующим соотношением 4,=^-— = У,-ум. (1.5) Ч-\ где у, = 1п Уг. Преимущества показателя г/, перед О, становятся очевидными при рассмотрении логарифмического дохода за к периодов Ч'{к) = \п(1 + К,{к))==\п({\ + К,_ы)...(\ + К,))=д1_ы+... + д1. (1.6) Из выражения (1 6) вытекает, что логарифмический доход за к периодов является арифметической суммой однопериодных логарифмических доходов. Для некоторых финансовых показателей использование геометрической доходности особенно удобно. Например, обменные валютные курсы могут быть выражены через каждую из двух валют для каждой пары: курс доллара в рублях или курс рубля в долларах. Распределения геометрической доходности любого этих курсов абсолютно симметричны, чего нельзя сказать о распределениях арифметической доходности. Использование геометрической доходности также удобно при __ конвертации. Например, если инвестор хочет измерять доходность в евро, то 30 •* ъ 31 она может быть выведена из данных, при получении которых базовой валютой был доллар: 1п(Отношение курсов евро к рублю)-1п (Отношение курсов евро к доллару)+ 1п(Отношение курсов рубля к доллару). В этом случае геометрическая доходность, выраженная в евро, просто равна разности геометрической доходности рубля, выраженной в долларах, и геометрической доходности евро, выраженной в долларах. Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых “портфелей-", представляющих собой взвешенную (в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.). Если /-я позиция такого портфеля имеет вес (долю) со, , тогда чистый доход от портфеля определяется как взвешенная сумма доходов различных активов В то же время логарифмические доходы не представляют такой возможности для расчета логарифмического дохода портфеля, поскольку логарифмирование выражения (1.7) не приводит к взвешенной сумме логарифмов. Между простыми и логарифмическими доходами существуют не только функциональные взаимосвязи типа (1.5), но и взаимосвязи между законами их распределений . В частности, статистические исследования реальных временных рядов цен также показали, что для логарифмических доходов достаточно правдоподобным является предположение о “нормальности" их распределения в каждый момент времени /, т е. ’ Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями шачення К.д;, -----пагемлтшваютез как рсал1гкшнн соотвстст юши\ сл> чанных процессов, и для каждого момента (1.7) Ч, ~ (1.8) где // и а/ математическое ожидание и дисперсия распределения. |