|
27 ности для расчета логарифмического дохода портфеля, поскольку логарифмирование выражения (1.7) нс приводит к взвешенной сумме логарифмов. Между простыми и логарифмическими доходами существуют не только функциональные взаимосвязи типа (1.5), но и взаимосвязи между законами их распределений1. В частности, статистические исследования реальных временных рядов цен также показали, что для логарифмических доходов достаточно правдоподобным является предположение о нормальности их распределения в каждый момент времени /, т.е. (1.8) где // и а2 математическое ожидание и дисперсия распределения. Это, в свою очередь, значительно упрощает процедуры анализа закономерностей распределения простых доходов, которые в этом случае имеют логарифмически нормальное распределение с параметрами д-4 <*\ М [ В , ] = е ' 2 -1 ,М[й] = е" 2 ,(1.9)Д[Л,] = /)[а] = е2^Л'-1 .(1.10) В свою очередь, при условии «нормальности» закона распределения простого дохода с математическим ожиданием т и дисперсией о\ из (1.9) и (1.10) следует, что соответствующие показатели для логарифмического дохода определяются следующими выражениями М [ я \ = М = 1п [т-ы]/Л/1-+-[(о-/?/[^н-1])] 1(1.11) а ] = 1п 1 + т +1 . ( 1. 12) Заметим, что, кроме предположения о «нормальности» распределений логарифмических доходов, финансовый анализ часто использует допущение о том, что многие переменные, являющиеся производными от основных финансовых показателей, оказываются распределенными по законам, относящимся к семейству распределений, называемому «классом стабильных распределений». Более того, нормальное распределение также относится к этому классу. Характерная особенность 1 Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями значения У,, д,, /?,, / = 1,2,... рассматриваются как реализации соответствующих случайных процессов, и для каждого момента вре^ мени эти значения рассматриваются как случайные величины. |
•* ъ 31 она может быть выведена из данных, при получении которых базовой валютой был доллар: 1п(Отношение курсов евро к рублю)-1п (Отношение курсов евро к доллару)+ 1п(Отношение курсов рубля к доллару). В этом случае геометрическая доходность, выраженная в евро, просто равна разности геометрической доходности рубля, выраженной в долларах, и геометрической доходности евро, выраженной в долларах. Однако и логарифмические доходы имеют свои недостатки. Они неудобны при анализе финансовых “портфелей-", представляющих собой взвешенную (в долях) сумму различных активов (акций, инвестиций и т.п.). Если /-я позиция такого портфеля имеет вес (долю) со, , тогда чистый доход от портфеля определяется как взвешенная сумма доходов различных активов В то же время логарифмические доходы не представляют такой возможности для расчета логарифмического дохода портфеля, поскольку логарифмирование выражения (1.7) не приводит к взвешенной сумме логарифмов. Между простыми и логарифмическими доходами существуют не только функциональные взаимосвязи типа (1.5), но и взаимосвязи между законами их распределений . В частности, статистические исследования реальных временных рядов цен также показали, что для логарифмических доходов достаточно правдоподобным является предположение о “нормальности" их распределения в каждый момент времени /, т е. ’ Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями шачення К.д;, -----пагемлтшваютез как рсал1гкшнн соотвстст юши\ сл> чанных процессов, и для каждого момента (1.7) Ч, ~ (1.8) где // и а/ математическое ожидание и дисперсия распределения. г*Ъ Это, в свою очередь, значительно упрощает процедуры анализа закономерностей распределения простых доходов, которые в этом случае имеют логарифмически нормальное распределение с параметрами 32 о; -> М[#,] = е 2 -1, М[0.]^е и. (1-9) (1.10) В свою очередь, при условии “нормальности'* закона распределения простого дохода с математическим ожиданием т и дисперсией а я' из (1.9) и (1.10) следует, что соответствующие показатели для логарифмического дохода определяются следующими выражениями л/ + 1 М[д'] = м = \п 11 + -о (1.П) <7 т + \ <т-=1п Г г \ 1 + т + \ ч / (1.12) Заметим, что, кроме предположения о "нормальности" распределения логарифмических доходов, финансовый анализ часто использует допущение о том, что многие переменные, являющиеся производными от основных финансовых показателей, оказываются распределенными по законам, относящимся к семейству распределений, называемому "классом стабильных распределений’’. Более того, нормазьное распределение также относится к этому классу. Характерная особенность класса стабильных распределений состоит в том, что сумма случайных величин, распределенных по какомулибо стабильному распределению, также распределена по этому же закону. Стабильные распределения, как правило, отличаются от нормального более медленным приближением к оси ординат их плотностей распределений. Иными словами, на их “хвостах” накапливается вероятность более значительная, чем на "хвостах ” нормальных распределений с теми же параметрами. |