|
75 бильностыо в колебаниях их значений. Чередование таких периодов часто пытаются объяснить закономерностями, существующими в рядах квадратов цен, т. е. между значениями У]2 и У*,, / = 1,2,..., а, следовательно, и между вариацией (условной дисперсией) в эти моменты времени [80]. Общий подход к построению моделей с изменяющейся вариацией предполагает что значение финансового показателя У( в момент / может быть определено следующим уравнением [80, 144]: У( = /1(() + У1и19 (2.4), где //(/) в общем случае условное или безусловное математическое ожидание процесса У,. Напомним, что безусловное математическое ожидание (//(г) = /л) может быть оценено, например, как среднее зна/ \ чение этого ряда за наблюдаемый периоди-г'^у, , случай стационарных процесч / / сов). Условное математическое ожидание определяется, например, из уравнения авторегрессии, связывающего текущие значения цены, с ее предыдущими значениями я * у, = «о + У,аУ,-> + '>,ип и в этом случае //(/) = ц, = М[У, \ У„п...,У,_к] = а0 + , /=1 /=1 где и, ~ У (0,1) стандартизованная случайная переменная, свойства которой предполагаются соответствующими свойствам "белого шума"*, у, процесс, образованный положительной случайной переменной, равной условному стандартному отклонению, так что 0[У{/у,] = у,2. Различные типы моделей с изменяющейся вариацией отличаются друг от друга в основном способами представления переменной у, . При этом, если и( белый шум, то при любом сдвиге по времени процессы у, и и,,у2 и и2,у/ и и,4 не коррелируют: соу(у,,*/*_,) = 0, />0. В данном разделе без ограничения общности будем предполагать, что • Напомним, что процесс белого шума предполагает независимость между моментами переменных «, и и,_, любых рядков, т.е. соу[/1 ,м*^] = 0, к = 1,2,.... В нашем случае достаточно, чтобы это условие выполнялось для к 44. Отметим также, что существуют классы моделей с изменяющейся вариацией, которые используют менее строгие предпатожения в етшо переменной и,. В частости, некоторые ю них допуска!ог ненулевые апгокоррсля1 тонные связи между квадратами и* и (случай белою шума) или даже между значениями и, и (случай стационарного процесса). |
Цены обычно изменяются при резких колебаниях предложения. Поступления на рынок больших объемов товаров, валюты, пакетов акций может вызвать падение цен на них и. наоборот, временное уменьшение этих объемов обычно влечет и временный рост цен. Подобные события случаются нечасто, и сопровождающие их изменения цен также достаточно редки, и в самих этих изменениях не прослеживается наличие каких-либо внутренне присущих им закономерностей (ГСБ-2). Резкие изменения в отклонениях цен У( от их математического ожидания часто объясняют реакцией рынка на такое их поведение. В частности, отмечается, что за значительными изменениями цен активов в одну сторону следуют не менее значительное их движение в другую сторону. В то же время малые изменения цен, как правило, сопровождаются такими же малыми противоположными их изменениями. В результате в тенденциях развития финансовых показателен отмечаются как относительно спокойные периоды, так и периоды с резко выраженной нестабильностью в колебаниях их значений. Чередование таких периодов часто пытаются объяснить закономерностями, существующими в рядах квадратов цен, т. е. между значениями У,2 и УД,. /=1,2,..., а, следовательно, и между вариацией (условной дисперсией) в эти моменты времени (ГСЬ-3) [80]. Общий подход к построению моделей с изменяющейся вариацией предполагает, что значение финансового показателя У] в момент г может быть определено следующим уравнением [80, 144]: П=М 0 + Щ. (2.4) где //(г) в общем случае условное или безусловное математическое ожидание процесса У]. Напомним, что безусловное математическое ожидание (/4.1)р) может быть определено, например, как среднее значение 87 этого ряда за наблюдаемый периол (р-~ ^Р,,), случай стационарных ^ ( процессов). Условное математическое ожидание определяется, например, из уравнения авторегрессии, связывающего текущие значения цены У\ с ее к прошедшими значениями У( =а0 +2/'Л-/ +ег> и в этом случае г=1 МО =М,= м[П I Уг_,—П_*]=0^ +. ;=1 и1 ~ N(0,1) стандартизованная случайная переменная, свойства которой предполагаются соответствующими свойствам “белого шума*' или даже “строгого белого шума”’. у, процесс, образованный положительной случайной переменной, равной условному стандартному отклонению, так что 0[^Л’,] = гг 2. Различные типы моделей с изменяющейся вариацией отличаются друг ог друга в основном способами представления переменной V,. При этом, если и, строгий белый шум, то любые по величине сдвига ковариации процессов V, и и,, г/ и и/'. V* и и* равны нулю. В данном разделе без ограничения общности будем предполагать, что /Д/) = /л и процессы V* и м* , к--\,2,3,4; являются независимыми. Очевидно, что значение // в таком случае представляет собой безусловное математическое ожидание процесса У{\ м[г,]=// + м[г, ]м[и, ]= М, (2.5) а его дисперсия равна м[\у : 0[У,] = М[У,-»]1 =м[уЯ2]=м[у,2]м[и,2]=м[г,2} (2.6) что означает ее равенство математическому ожиданию второго начального момента переменной V,. ’ Напомним, что процесс строгого белого шума предполагает независимость между моментами переменных И( и Ы( _1 любых порядков, тс М[и;.и, , = 0.к 1.2.. . В нашем сл>чае достаточно, чтобы это условие выполнялось для А<4 Отметим также, что существуют классы моделей с изменяющейся вариацией, которые используют менее строгие предположения в отношении переменнойи( 8 частности, некоторые 88 |