|
76 //(*) = // и процессы V* и м*, к = 1,2,3,4, являются независимыми. Очевидно, что значение р в таком случае представляет собой безусловное математическое ожидание процесса У(: М[У,] = ц + Л/[уг]Л/[м#] = ц, (2.5), а для его дисперсии имеем: 0[}^] = М[^-^]2 = = (2.6), что означает ееравенство математическому ожиданию второг о начального момента переменной у, . Рассмотрим принципы формирования различных типов моделей, соответствующих выражению (2.4). 2. /. /. Модели процессов со скачками вариации Для описания процессов с резкими скачками вариации, вызванными в основном экстраординарными событиями, обычно используются модели, в которых дополнительно к выражению (2.4) вводится ограничение на вероятность такого скачка в произвольный момент времени /. Обычно предполагается, что р{м[у/] = Л/[уи]} = где а—>1. Иногда количество скачков за определенный период времени (например, за год) предполагается постоянным. Примером такого типа моделей является модель с марковской вариацией. Она формируется на основе следующих предпосылок [80]. Предположим, что переменная у,, может принимать только два значения <т{ и сг2, каждое с вероятностью 1/2, I -1,2,.... Ив каждый момент времени / существует вероятность (1 а), что текущее значение этой переменной может поменяться на альтернативное, т. е. вероятность того, что а1 изменится на сг2 и, наоборот, равна (1 а), где а величина, близкая к 1, а < 1. Обозначим х, = У, // = у,и,, (2.7), где, как и ранее, процессы у, и и, независимы; и и, белый шум, и, ~ N(0,1). Несложно показать, что процесс х1 обладает нулевой автокорреляционной функцией, начиная с первого коэффициента, т. е. По своим свойствам он близок к белому шуму. В самом деле, в силу независимости процессов и, и и,.,, / = 1,2,... имеем: соу[х(,х,.,.] = А/[у,у,.(]М[и,]м[«,.(] = 0.(2.8) Вообще говоря, значения дисперсии этого процесса на различных временных отрезках могут различаться между собой. Вместе с тем, заметим, что в общем |
к * Рассмотрим принципы формирования различных типов моделей. 89 соответствующих выражению (2.4). 2.1.1. Модели процессов со скачками вариации Для описания процессов с редкими скачками вариации, вызванными в основном экстраординарными событиями, обычно используются модели, в которых дополнительно к выражению (2.4) вводится ограничение на вероятность такого скачка в произвольный момент времени Л Обычно предполагается, что Р{М[у,] = М1>»м]} = аг, где от-И. Иногда количество скачков за определенный период времени (например, за год) предполагается постоянным. Примером такого типа моделей является модель с марковской вариацией. Она формируется на основе следующих предпосылок [80]. Предположим, что переменная V, может принимать только два значения ст5 и <т2, каждое с вероятностью 1/2, г=1,2..............И в каждый момент времени г существует вероятность (1-ог), что текущее значение этой переменной может поменяться на альтернативное, г е. вероятность того, что о-, изменится на <т2 и, наоборот, равна (1-а), где а величина, близкая к 1, а < I. Обозначим х,=У,-м = *,н„ (2.7) где, как и ранее, процессы V, и щ независимы: и и( строгий белый шум, щ N(0,1). Несложно показать, что процесс х( обладает нулевой автокорреляционной функцией, начиная с первого коэффициента, т. е. по своим свойствам он близок к белому шуму. В самом деле, в силу независимости процессов щ и и,., , / =1,2,... имеем: 2 2 2 из ни\ дотекают ненулевые автокорреляционные свяли между квадратами //,“ и (случай белого шума) или даже между значениями 11{ и и1_1 (случай стационарного процесса). 90 соу[гг ух{4 ]= м[угум ]м[ис Мм,.,. ] = 0. (2.8) Вообще говоря, значения дисперсии этого процесса на различных временных отрезках могут различаться между собой. Вместе с тем, заметим, что в общем случае значение безусловной дисперсии процесса х, определяется следующим выражением: оЫ= мк]= м[у,2]= “(с[~ + су2) (2.9) Важной характеристикой, которая позволяет идентифицировать процессы, соответствующие модели (2.4) с редкими скачками вариации, является автокорреляционная функция процесса .г2. В общем случае значение /-го коэффициента автокорреляции следующим образом: определяется (2.10) Можно показать, что значение /-го коэффициента автокорреляции процесса .г/ определяется общей формулой: Из выражения (2.11) непосредственно следует, что при а~»1 для коэффициентов автокорреляции любого порядка процесса х* справедливо следующее соотношение: 0,2>р, >р2 > — >/>, (2.12) а значение а может быть определено на основании следующего выражения: л(-гг>. (2.13) |