|
77 случае значение безусловной дисперсии процесса х, определяется следующим выражением: Л[х, ] = М [х,2 ] = М [у2 ] = ~-(<т,2 + сг2 2). (2.9) Важной характеристикой, которая позволяет идентифицировать процессы, соответствующие модели (2.4) с редкими скачками вариации, является автокорреляционная функция процесса х2. В общем случае значение /-го коэффициента автокорреляции р;(х2) определяется следующим образом: Р =^{^У,-)/о[^] = {м[х1х1,умг[х]])/(м[х^-м[х^У (2.10) где М[х^] = -(с7^+а2 2) = 0[х,}. Можно показать, что значение / -го коэффициента автокорреляции процесса х2 определяется общей формулой: Р.(*/) = [к -<*\)’/[К а2)! + 4(<т!4 + )]](2а -1)' • (2-11) Из выражения (2.11) непосредственно следует, что при а ~>0 для коэффициентов автокорреляции любого порядка процесса х2 справедливо следующее соотношение: 0,2 > р, > р2 >... > р/ >... > 0, (2.12), а значение а может быть определено на основании следующего выражения: а 0.5(1 + р2 (х,2 )/р, (х,2)). (2.13) 2.1.2. Модели процессов с зависимой вариацией Гипотеза о связи изменений вариации цен с экстраординарными событиями не выглядит достаточно реалистично, хотя бы по той причине, что такого рода события возникают достаточно редко и они не в полной мере объясняют весь спектр этих изменений. Многие менее значительные события также воздействуют на цены, изменяя их пусть и на незначительную величину. Вместе с тем, подобная информация поступает на рынок практически непрерывно и в результате ее наложение может вызвать и достаточно сильные колебания в уровнях цен даже в течение одного дня. Это позволяет считать условную вариацию процесса У1 случайной величиной, значения которой в моменты / = 1,2,... зависят от некоторых других переменных, |
90 соу[гг ух{4 ]= м[угум ]м[ис Мм,.,. ] = 0. (2.8) Вообще говоря, значения дисперсии этого процесса на различных временных отрезках могут различаться между собой. Вместе с тем, заметим, что в общем случае значение безусловной дисперсии процесса х, определяется следующим выражением: оЫ= мк]= м[у,2]= “(с[~ + су2) (2.9) Важной характеристикой, которая позволяет идентифицировать процессы, соответствующие модели (2.4) с редкими скачками вариации, является автокорреляционная функция процесса .г2. В общем случае значение /-го коэффициента автокорреляции следующим образом: определяется (2.10) Можно показать, что значение /-го коэффициента автокорреляции процесса .г/ определяется общей формулой: Из выражения (2.11) непосредственно следует, что при а~»1 для коэффициентов автокорреляции любого порядка процесса х* справедливо следующее соотношение: 0,2>р, >р2 > — >/>, (2.12) а значение а может быть определено на основании следующего выражения: л(-гг>. (2.13) 91 2Л .2. Модели процессов с зависимой вариацией Привязка изменений вариации цен к экстраординарным событиям не выглядит достаточно реалистично, хотя бы по той причине, что такого рода события возникают достаточно редко и они не в полной мере объясняют весь спектр этих изменений. Многие менее значительные события, какая-либо информация также воздействуют на цены, изменяя их пусть и на незначительную величину. Вместе с тем, подобная информация поступает на рынок практически непрерывно и в результате ее наложение может вызвать и достаточно сильные колебания в уровнях цен даже в течение одного дня. Это позволяет считать условную вариацию процесса У, случайной величиной, значения которой в моменты г= 1,2,... зависят от некоторых других переменных, отражающих сложившуюся на рынке текущую ситуацию. В таком случае процесс V,, отражающий стандартные отклонения в уровне цен, может обладать более широким спектром закономерностей, по сравнению с рассмотренными выше. В научной литературе выдвинут целый ряд гипотез в отношении переменной V,. Основными из них являются следующие две, отражающие ГСБ-3 [61, 80] Первая гипотеза предполагает, что значения V, представляют собой условное стандартное отклонение, являющееся детерминированной функцией от прошлых значений цен: В качестве примера такой функции может рассматриваться следующее выражение: где коэффициенты а0 и являются положительными. Вторая гипотеза предполагает независимость условного стандартного отклонения от уровня цен, но допускает, что переменная V, может быть представлена функцией типа уравнения авторегрессии-скользящего среднего (2.14) (2.15) (2.16) |