79 ем (2.15) получим У( ц = и(у]а0 Все коэффициенты а0Уа1,...уак в выражениях (2.17) и (2.18) являются неотрицательными. Из выражения (2.18), в частости, следует, что условная дисперсия цены в момент I 0[У, при известном значении У{_} определяется равенством 0[У, ^_,] = «о + «I (у,-1 а)2 • (2-19) Таким образом, согласно (2.19), большие отклонения цен от математического ожидания в день I влекут за собой увеличение дисперсии в ценах следующего периода и, наоборот, уменьшение отклонений влечет за собой снижение величины этой дисперсии. Из выражения (2.19) также вытекает, что переменные у,2 и и]л не являются статистически независимыми. Это следует из того, что у2 = 0\У, Ум ] зависит от (У{А -//)2 = у2_,н2_, . Из выражений (2.17) и (2.18) непосредственно вытекает, что свойства автокорреляционных функций процесса (У1А -//)2 в первом случае должны соответствовать процессу АР(к)у а во втором удовлетворять соотношению /?,($,) = а\, где з( = (У( //)‘. Дальнейшее направление разработок моделей с изменяющейся зависимой вариацией связывается с подбором более удачной модели для описания динамики переменной V, в тех случаях, когда количество параметров в авторегрессионных моделях достаточно велико. Напомним, что авторегрессионные модели этой переменной могут быть представлены, например, следующими выражениями: у2 = а0 + +... + акз(_к; 1п у, = а0 + а{ 1пу,_, +... + ак 1пу,_А + т)г (2.20) Коэффициенты этих и других возможных вариантов моделей такого типа определяются на основе коэффициентов автокорреляции процессов з, и г,, / = 1,2,..., значения которых являются неотрицательными, но достаточно небольшими и стремятся к нулю с увеличением сдвига. При к >2 относительные погрешности эмпирических коэффициентов автокорреляции могут быть достаточно большими, что повлечет за собой и ошибки коэффициентов модели. В результате построенная модель не будет достаточно точно воспроизводить поведение процесса. |
Из выражения (2.18), в частности, следует, что условная дисперсия цены в момент I Е)[УГ) Кг_,] при известном значении У,_, определяется как = (2.19) Таким образом, согласно (2.19) большие отклонения цен от математического ожидания в день / влекут за собой увеличение дисперсии в ценах следующего периода и, наоборот, уменьшение отклонений влечет за собой снижение величины этой дисперсии. Из выражения (2.19) также вытекает, что переменные х] и и*_х не являются статистически независимыми. Это следует из того, что V,2 = о[у; I У,.,] зависит от (У,., М)2 = ,. Из выражений (2.17) и (2.18) непосредственно вытекает, что свойства автокорреляционных функций процесса (У,_1-//)2в первом случае должны соответствовать процессу АР(Лг), а во втором удовлетворять следующему соотношению рД.уг) = а\, где л-, =(У( -и)2. Дальнейшее направление разработок моделей с изменяющейся зависимой вариацией связывается с подбором более удачной модели для описания динамики переменной х: в тех случаях, когда количество параметров в авторегрессионных версиях достаточно велико. Напомним, чго авторегрессионные версии моделей этой переменной могут быть представлены, например, следующими выражениями. # V2 = я0 4 4"... 4акХ'_к: 1п V, = а0 + ах 1п +... + ак 1п х^к + ц,. Коэффициенты этих и других возможных вариантов моделей такого типа определяются на основе коэффициентов автокорреляции процессов.у, и 93 где а, коэффициенты модели. /=0, 1,..., к] у, ошибка. Если значения коэффициентов Ы). равны н> .но. то рассматриваемая модель имеет постоянную условную дисперсию ошибки Если ц,*0 и а, ~0, />1. то е может быть определена выражением аналогичным (7.119). т с. как Гг = у, ал с(\ ■ у.и, + 4Т • с, 2 п г=1,2,..., значения которых являются неотрицательными, но достаточно небольшими и стремятся к нулю с увеличением сдвига. При к>2 относительные погрешности эмпирических коэффициентов автокорреляции могут быть достаточно большими, что повлечет за собой и ошибки коэффициентов модели. В результате построенная модель не будет достаточно точно воспроизводить поведение процесса. Избежать влияния погрешностей в оценках коэффициентов автокорреляции процессов .9, и на точность представления переменной V, при больших сдвигах можно на основе использования при ее описании вместо авторегрессионных моделей (АР(Аг)) моделей более общего класса авторегрессии-скользящего среднего (ЛРСС(А% т)) с гораздо меньшим числом параметров [9]. В частности добавление к модели авторегрессии первого порядка модели скользящего среднего первого порядка позволяет сформировать модель, по своим свойствам эквивалентную модели авторегрессии достаточно высокого порядка. Такой подход, в частности, предполагает, что для описания процесса г;, может быть использована, например, модель следующего вида г; =ц0+ц,(Т,_ I-//)2 + V/-!» (2-21) связывающую текущее значение условной дисперсии с ее предшествующим значением и предшествующим квадратом ошибки = (УМ /л)1, определяемой по отклонению цены актива в момент /-1 ог ее математического ожидания Модели типа (2.21) в научной литературе получили название СЛКСН моделей {ОепегаН^ес! Ашоге&геззпе СопсИпопаИу Не1его$кеНа.чПс тоАек) [61). Общий вид ОАКС И модели порядка (к, г) может быть определен с л еду ю щи м в ы р аже н и е м: -/О2+ /=1 ;=1 94 (2.22) |