|
96 АV ( Г\ дУЛ ЛГ'1 V,дУ > кГ: Ь (г„дУ^ V \У ) Т п { У 3 г 2 ) 1 а • • I >*2 [ У д г „ ) Г ш Выражения в скобках являются нс чем иным, как чувствительностями (эластичностями) относительных изменений стоимости портфеля по отношению к изменениям факторов риска. Легко видеть, что показатель чувствительности можно представить в виде произведения коэффициента «дельта» на текущее значение фактора риска в (2.42) или на отношение текущих значений фактора риска и стоимости портфеля в (2.43), Поскольку стандартное отклонение является положительно однородной функцией (сг[шг] =аа[х]), эти коэффициенты будут также связывать стандартное отклонение доходности портфеля со стандартными отклонениями доходностей факторов риска. Из (2.43) следует, что дисперсию доходности портфеля можно оценить по следующей формуле: <у,у * +■•• + + тр&РгРи +...+ г„,аЛ.м, (2.44), '2_2 '2_2 а дисперсия абсолютных изменений стоимости портфеля будет приближенно равна °1у я + 4°2 + + + 2 « , 5 2 с г + . . . + 25„_}5„ап_,апр„^„ = У1^, (2.45), где Щ чувствительность доходности портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска; чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска; <7, стандартное отклонение доходности / -го фактора риска; р1} коэффициент корреляции между доходностями /-го и у-го факторов риска. Теперь для определения величины УаЯ можно непосредственно воспользоваться базовой формулой (2.39). В матричном виде эта формула будет иметь вид: УаК = КаУ4\У Г\У = кх_а у[8т8 , (2.46), где V текущая стоимость портфеля; IV вектор-столбец чувствительностей доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска; 5 вектор-столбец чувствительностей абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска. Рассмотренный «канонический» вариант ковариационного метода расчета |
I *• * 112 УаК-отображения) возможны несколько эквивалентных вариантов § ковариационного метода, приводящие в итоге к одинаковому результату. Рассмотренный выше метод вычисления УаК. для одной позиции может быть обобщен для портфеля, состоящего из позиций по нескольким различным инструментам. Стоимость такого портфеля (К) является функцией многих переменных, количество которых равно числу выбранных рыночных факторов риска. Приращение стоимости портфеля в окрестности ее текущего значения может быть линейно аппроксимировано членами первого порядка ряда Тейлора: /V /?\/ /V А У —Аг + -------А г,+ ..+--------------------------------------------------------Л/;,(2.41) *г} гг, дгп где г . / = /..л, значения факторов рыночного риска. Это разложение позволяет выразить в общем виде абсолютное и относительное изменения стоимости портфеля через относительные изменения факторов риска: дУ а/ Г Г. АГ, г, гУ г г ) 1 г . +...+ Г. + • л а ^ л л , Ч г У ' У . . У гг у г. , у гг ) л ^ гга, л . (2.42) (2.43) Выражения в скобках являются не чем иным, как чувствительностями (эластичностями) относительных изменений стоимости портфеля по отношению к изменениям факторов риска. Легко видеть, что показатель чувствительности можно представить в виде произведения коэффициента «дельта» на текущее значение фактора риска в (2.42) или на отношение текущих значений фактора риска и стоимости портфеля в (2.43). Поскольку стандартное отклонение является однородной функцией (сг[шг] = 0сг[х]), эти коэффициенты будут также связывать стандартное отклонение доходности портфеля со стандартными отклонениями доходностей факторов риска. Из (2.43) следует, что дисперсию доходности портфеля можно оценить по следующей формуле. » •» 113 V * ига+ и/;<7;-к..+ифт' + ЪУМ)м1о{аУрхг+.,л2\/уПт{у/па дисперсия абсолютных изменений стоимости портфеля будет приближенно равна ' 5?сг1 + ^:+«+^ст; + 2^&а1ст:/?,,+... г2^_л^-.^п>.п = У:<^у V ,(2.45) где и-', чувствительность доходности портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска; $,• чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска; а, стандартное отклонение доходности /-го фактора риска; р(1 коэффициент корреляции между доходностями /-го и у-го факторов риска. Теперь для определения величины УаК можно непосредственно воспользоваться базовой формулой (2.39). В матричном виде эта формула будет иметь вид: УаК =к1_аУт]к'ТШ =*,_в>/х7'2Л’. (2.46) где Р-текущая стоимость портфеля; \У вектор-столбец чувствительностей доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска; 5 вектор-столбец чувствительностей абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска. Рассмотренный «канонический» вариант ковариационного метода расчета УаК является прямолинейным и универсальным; теоретически он применим для портфелей любой сложности, стоимость которых возможно представить в виде функции от факторов рыночного риска. Однако на практике такой подход оказывается весьма трудоемким: нахождение точных аналитических зависимостей для коэффициентов чувствительности портфеля становится чрезвычайно громоздкой задачей с усложнением структуры портфеля. |