|
Уравнение линейной части системы с одной нелинейностью запишем из (2.13), как N(S)x=M (S)y, (2.19) где N ,M в общем виде для рассматриваемого случая определяются полиномами N(S) = я0+alS+...+a„S"\ M(S) =b0; п =4, где а0,...,а„,Ьа-отыскиваются с учетом (2.15). Считая, что в системе возникают незатухающие периодические колебания *(0 = Лsin£ " 2/, подставляя *(0в (2.19) и, учитывая (2.13), получим: NfosinQt + N2£lcosQt =-q(A)M (Q)smnt, где jV,(Q) = a0-OjП2+a4Q4,JVj(Q) = a,Q-a3Q3,A/(fi) =bQ. Полученное равенство обратится в тождество, если выбранное значение £2 соответствует частоте периодического решения: [«V, (П ) + g(.4 )A /(Q )]sm Q / + N2( i i) c o s n / = 0 . Тождество возможно только в случае равенства нулю коэффициентов при периодических функциях, т.е. Nl(0) +q(A)M(Si) = 0,N2{£l) = 0. (2.20) Второе равенство позволяет сразу найти частоту периодического решения. Подстановка полученного значения в первое уравнение (2.20) определяет амплитуду автоколебаний из соотношения: В = -N t(Q)/ Л/(П) = q(A) =const. Нанося горизонтальную прямую параллельную оси абсцисс (рис.2.4.г) найдем графическое решением уравнения (2.20). Так как автоколебания возможны только при наличии чисто мнимого корня S =jQ , то его подстановка в (2.15) дает: T2 2Tdn< +(TlTd +Td 1)jQ.3 -(T j +Td)Q.2 +jCl + Kq(A) = Q, (2.21) где K = ^ ^ . Выделяя вещественную и мнимую части, получим по аналогии с (2.9): Т?Тй0.1 +Kq{A)=0, \~{Т}Т, + Т2 2)С1г =0. (2.22) 63 |
12 3 аз(а1а2-аоаз)-а2 }а4 >0, (4.16) где ao,aj,...,a4коэффициенты исходного характеристического уравнения aoS4 +a/S3 +a2S2 + a^S +a4 0 . Применительно к рассматриваемому случаю неравенство (4.16) запишется следующим образом: [(т + Т 2 2)(Т,+Тд) Т 22Тд] ( т +Т2 2) 2K q(A )> 0. (4.17) Так как величина гармонического коэффициента линеаризации ограничена пределами 0 Уравнение линейной части системы с одной нелинейностью запишем из (4.13), как N(S)x =M(S)y, (4.19) где N,M в общем виде для рассматриваемого случая определяются полиномами N (S ) =ао + 0/S + ... + a„Sn; M (S) =bo; п 4 , где а0,...,ап,Ь0отыскиваются с учетом (4.15). Считая, что в системе возникают незатухающие периодические колебания x(t)= AsinQt, подставляя x(t)b (4.19) и, учитывая (4.13), получим: NiD sinQt + N2P cosDt =-q( A)M (£2) sin Qt, где N i(Q ) =ao a 2Q 2 + a4Q 4,N2{Q) =щО а з О 3,М(Г2) =Ьо. Полученное равенство обратится в тождество, если выбранное значение Q соответствует частоте периодического решения: [ЛгДя) + q(A)M(a)]sinQt +N2(n)cos а =о. Тождество возможно только в случае равенства нулю коэффициентов при периодических функциях, т.е. N }{n)+q(A)M(n) =О ,N2(0)= 0. (4.20) 124 Второе равенство позволяет сразу найти частоту периодического решения. Подстановка полученного значения в первое уравнение (4.20) определяет амплитуду автоколебаний из соотношения: В -~N}{C2)/М {р) =q(A) =const. Нанося горизонтальную прямую параллельную оси абсцисс (рис.4.5, г) найдем графическое решением уравнения (4.20). Так как автоколебания возможны только при наличии чисто мнимого корня S =j Q , то его подстановка в (4.15) дает: т 2 2т дп 4+(т,тд+ Ti ) j a 3(Tj +т д) п 2 + j a +к Ч( а ) =о, (4.21) „ К2Кд где К —— —. П Выделяя вещественную и мнимую части, получим по аналогии с (4.9): Т2 2Тд0 4 (Т, + Тд)П 2+ Kq(A) = 0, J(Т,Тд + Г/ )П 2 =0. (4.22) Эти уравнения могут быть использованы для определения частоты Q и амплитуда А автоколебаний. Из второго уравнения (4.22) находим Q = l / ^ Т 2+TjТд , а из первого параметрическое уравнение, связывающее амплитуду периодического решения с параметрами системы (4Л З) к причем зависимость q(A) выражается формулой (4.11). Изобразив график q(А), можно определить амплитуду автоколебаний А , как показано на рис.4.5, г, при любых заданных значениях параметров системы, очевидно, что периодическое решение существует при соотношении параметров ( Т 1 + Тд ) П 2 Т 22 Тд П 4 С Ь ' (424) иначе не будет точки пересечения. Построим графики зависимости периодического решения от параметров системы при следующих исходных данных: |