|
90 пользуются ниже при анализе эффективного финансового портфеля и условий равновесия на рынке акций. Портфель т/ = (и'# ь...,\у*м)т, удовлетворяющий требованию минимальной вариации его доходности при заданном уровне последней ши максимальной доходности при заданной дисперсии портфеля, называется эффективным. Для его нахождения необходимо решить следующую задачу минимизации дисперсии портфеля: 1 шш -УагК (2.2.8) при ограничениях: {>1-1 (2-2.9) N 2>^=е (2.2.10) 4=1 Ограничение (2.2.9) представляет собой условие сбалансированности портфеля, а уравнение (2.2.10) задает его ожидаемую доходность. Решение этой квадратичной задачи на условный экстремум приводит к нахождению седловой точки функции Лагранжа, то есть с учетом (2.2.7) имеем: 1 ь 1ШПЬ(№,...,\УЧ,'УД) = ГП1П-(^С>^ +2^ст,)»,чг;) + 1=1 \Ф) + У(1-2>)+Ме-2У,»!), (2.2.11) >=1 1-1 где у множитель Лагранжа, относящийся к ограничению (2.2.9), а А. аналогичный множитель для условия (2.2.10). Выпишем условия первого порядка для задачи (2.2.11): °1Ч+1Х^-;Ц-у = 0 (2.2.12) |
ция при заданном уровне доходности. Поэтому для нахождения эффективного портфеля, т.е. параметров {\уь ... , \у^}, необходимо определить общую доходность портфеля и его вариацию и затем решить задачу минимизации дисперсии. Отдача от портфеля равна средневзвешенной доходности ценных бумаг портфеля, где весами выступают их доли: К=]Г&1™ь (4.5) 1 = 1 Тогда ожидаемая доходность портфеля определяется по формуле N _ N е = ЕК. = » 1=1 1=1 (4.6) Определение риска портфеля представляется более сложным, т.к. он будет меньше среднего взвешенного риска. Это происходит потому, что цены на акции разных предприятий могут иметь разную направленность, и, если подобрать портфель, например, из двух акций, цены которых колеблются в противоположных направлениях (т.е. имеет место негативная корреляция), то риск портфеля становится равен нулю. Следует отметить, что здесь идет речь об элиминировании диверсифицируемого риска. Рыночный риск, остающийся после диверсификации портфеля ценных бумаг, зависит только от рыночного риска ценных бумаг, входящих в портфель, и измеряется теснотой связи, с которой цены акций портфеля колеблются вместе с ценами всего рынка ценных бумаг. Аналогично, вариация портфеля (дисперсия его доходности) равна: Уаг К = Е(К ЕК)2 = Е(Х^\у1 =Е ( Х ( К ; = N _ N N 1 = 1 1 = 1 N _ ^Е(К1 е ; ) 2 ™ ? + 2 Х Е ( К ; -е;)(К, = Еа?ж? + 2 Х с т ; ^ д а , . (4.7) 1 = 1 1 * ^ 1 = 1 I*) N 1 = 1 .2..,2 Например, для случая двух активов (N=2) дисперсия портфеля равна а2 = ст2^2 + о^2 + 2 0 1 2 ^ 1 ^ 2 Итак, получены формулы для оценки общей доходности и рискованности (вариации) портфеля. Они используются ниже при анализе эффективного финансового портфеля и условий равновесия на рынке акций. Эффективный портфель Портфель = ( \ у ^ , . . . , у ^ ) т , удовлетворяющий требованию минимальной вариации его доходности при заданном уровне последней или максимальной доходности при заданной дисперсии портфеля, называется эффективным. Для его нано хождения необходимо решить следующую задачу минимизации дисперсии портфеля: при ограничениях: 1 1шп —Уаг К ^ 2 N 2 > 1 = 1 1=1 N (4.8) (4.9) (4.10)= е . 1 = 1 Ограничение (4.9) представляет собой условие сбалансированности портфеля, а уравнение (4.10) задает его ожидаемую доходность. Решение этой квадратичной задачи на условный экстремум приводит к минимизации функции Лагранжа, то есть с учетом (4.7) имеем: 1 N пип Ь ( \ у Ь . . . , \ у к , у Д ) = п и п + 2 + 1 = 1 + У ( 1 Х ^ ) + Х ( е Х е р ^ ) , (4.11) 1=1 1=1 где у множитель Лагранжа, относящийся к ограничению (4.9), а X аналогичный множитель для условия (4.10). Выпишем условия первого порядка для задачи (4.11): 1 N ар*1 + Х<*^ Ц у = 0 (4.12) I*) 1^ = 1 (4.13) 1 = 1 N 2е^ = е (4.14) 1 = 1 Таким образом, мы имеем линейную систему из N+2 уравнений с N+2 неизвестными: \уь ... , \уц, X, у. Причем N первых уравнений системы (4.12) можно представить в матричном виде: Уто = / 2 а1 а12 Л а N2 ^N2 г + у + у>) (4.15) 111 |