|
92 +(Е1Х-)г 1-1 Н "1 )-1 1-1 .1-1 (2.2.19) Тогда мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными X и у: е ВА. + Ау (2.2.20) 1 АЛ + Су (2.2.21) NN NN NN где А = в = . с = Х2>, ■ 1-1 )Ч 1=1 я! 1=1 ^=1 Решая систему уравнений (2.2.20-2.2.21), получим Се-А Д (2.2.22) В-Ае Д (2.2.23) где Л определитель матрицы уравнений (2.2.20-2.2.21): 'В А" А С, равный Д = ВС А2. Найденные значения множителей Лагранжа X и у подставляем в уравнение (2.2.17) для отыскания \у\: V,’;— ___н АА В-Ае^ 2>Л + >1 д я, N N N А2>»е, С2>Л~АЕ 1=1 н м (2.2.24) Рассчитаем теперь дисперсию эффективного портфеля, подставив найденные весовые коэффициенты в формулу (2.2.7), записанную в виде УагК. = 7/тУ7/. Используя соотношение (2.2.17), имеем |
Найденные значения множителей Лагранжа А, и у подставляем в уравнение (4.17) для отыскания : = , Се -А И В-Ае^ и 3=1 и 3=1 N N N N В Х Ш З А ^ е ; А Х Ц у _ Ы _______ 1 = 1 [ ')=! 1 ^ 1 е . (4.24) О V Рассчитаем теперь дисперсию эффективного портфеля, подставив найденные весовые коэффициенты в формулу (4.7), записанную в виде Уаг К. = Используя соотношение (4.17), имеем Уаг К = (А X екц1к + у X ^)Т(1сУ^) = к=1 к=1 3=1 N N _ N = (АХ екйк1 +У I Дк1)Т(Х<^) = к = 1 к=1 )=\ N N N _ N = Х ( А Х екИк! + г I Цк1)т (!' 1 = 1 к=1 к=1 3 = 1 NN N N N = А(Х Хек^1цк1ау) + у (X 1^1^^) = к = и = 1 1 =1 к=13=1 1=1 N N = АХе^ + у $>] = Ае + у, (4.25) 3=1 3 =1 где второе равенство следует из симметричности матрицы, обратной ковариационной, пятое из равенства 0 произведения элементов прямой и обратной матриц при Ьу и равенства 1 при к=1 и последнее из условий (4.13) и (4.14). Подставляя в (4.25) значения множителей Лагранжа (4.22) и (4.23), находим соотношение между отдачей портфеля (е) и его вариацией (а2): а2 = Хе + у = —е + —— = -(Се2 2Ае + В). (4.26) О э О Заметим, что это уравнение параболы, где минимальная дисперсия эффективного портфеля, равная 1/С, соответствует его минимальной доходности, равной А/С. Множество точек параболы образует т.н. линию граничных портфелей (еШает ГгопИег, рисЛО). Граничный портфель считается эффективным, когда его доходность больше А/С. Все точки эффективных портфелей расположены на “северозападной”, положительно наклоненной ветви параболы. Портфели, соответствующие точкам на параболе, для которых доходность ниже А/С, не являются эффек113 |