|
96 или в векторной форме: е = >7Те + г,(1-эдт5) (2.2.29) где I единичный вектор. Заметим, как и выше, Ы-мерный вектор V/ обозначает портфель, состоящий только из рискованных активов, на который не накладывается условия сбалансированности -;/т1 = I. Дисперсия такого портфеля рассчитывается так же, как и дисперсия рискованного портфеля (2.2.7): УагК = Е(К-ЕЯ)2 = Е(ХК,«,+гД1-Х^,)-;еЛУ1-ГД1-1;*,))3 = 1*1 1=1 1=1 1=1 = Е(ХЯ,*,~Хе™,)г (2.2.30) 1-1 1*1 Для минимизации дисперсии будем использовать функцию Лагранжа, которая выражается в векторной форме: Ш1П Ь = ~7/ + ?.(е у/‘е г,(1 туг5)) (2.2.31) ^ 2 Имеем N-4 условий первого порядка: Уу/ \(ъ г,3) = О (2.2.32) 5 = ’;/?+г,(1-у/т1) (2.2.33) где С обозначает Ы-мерный ноль-вектор. Из (2.2 32) следует, что: V/ = \г’(е г,-1) (2.2.34) Умножим обе части уравнения (2.2.34) на вектор (® гД)т: (з Г(1)т V/ = Х(е гг1)тУ1Ци -г,-3) (2.2.35) Преобразуя уравнение (2.2.33) к виду т(е г*Г) = е гг (2.2.36) и используя правило умножения векторов, получим: у/т(е г*1) = (е гД)т V е гг (2.2.37) Тогда левая часть уравнения (2.2.35) представляет собой ожидаемую премию за риск портфеля (е р), равную превышению ожи |
Соотношение доходности портфеля и СКО Рис. 11 Эффективный портфель с безрисковым активом Рассмотрим теперь случай, когда финансовый портфель включает помимо N рискованных активов еще N4-1-й безрисковый актив. Таким активом можно считать, например, валютный депозит с фиксированной доходностью 1у процентов за определенный период в банке высшей категории надежности. Тогда задача распределения средств в портфеле с минимальной дисперсией приобретает новую модификацию, учитывающую специфику расчета доходности и дисперсии портфеля, содержащего безрисковый актив. Принимая во внимание, что теперь условие сбалансированности портфеля N имеет вид Х^1 + ^N+1 = 1» где ^N+1 доля безрискового актива, определим ожи1 = 1 даемую доходность портфеля как е = ЕК = Х(ЕК1)^1 + гг(12>1)= + гг(12>) (4-28) 1=1 1=1 1=1 1=1 или в векторной форме: е = © + гг (1 ^/ТП), (4.29) где 1 единичный вектор. Заметим, как и выше, М-мерный вектор ^ обозначает портфель, состоящий только из рискованных активов, на который не накладывается условия сбалансированности тотП=1. Дисперсия такого портфеля рассчитывается так же, как и дисперсия рискованного портфеля (4.7): „ N N N N 7 Уаг а = Е(К-ЕК)2 = Е(ЕК^ч-гг(12>1>1е^-гг(1I* [ ) ) = 1=1 1=1 1=1 1=1 115 (4.30) N N , = 1 е ^ ) 2 . 1=1 1=1 Для минимизации дисперсии будем использовать функцию Лагранжа, которая выражается в векторной форме: П11П Ь = ” ^Уто + Х(е штс г^(1 штП)). (4.31) ад,А, 2 Имеем N+1 условий первого порядка: У*у М<В ггН) = ©, (4.32) е = ^т$ + ^ (1 ^ТЕ), (4.33) где © обозначает И-мерный ноль-вектор. Из (4.32) следует, что: ш = XV4 (ф ггП). (4.34) Умножим обе части уравнения (4.34) на вектор (ф г^П)1: ($ ггпу% = А(ф ггЕ)тУ4(® ггП). (4.35) Преобразуя уравнение (4.33) к виду ^т($ ггЕ) = е гг (4.36) и используя правило умножения векторов, получим: чя/т(ф ггП) = (® Гг1)тш = е гг. (4.37) Тогда левая часть уравнения (4.35) представляет собой ожидаемую премию за риск портфеля (е гг), равную превышению ожидаемой доходностью портфеля доходности безрисковых вложений. Таким образом, е гг= X Н, где Н = (в гсОугУ4^ ггП). (4.38) Подставляя выраженное отсюда X в (4.34)у получаем формулу для расчета весовых коэффициентов вложений в рискованные активы для эффективного портфеля ценных бумаг: = ’/4(« ггЕ) , (4.39) н причем доля вложений в безрисковый портфель составляет ^+1* = 1 ш*тП. Рассчитаем теперь дисперсию и доходность такого портфеля: Уаг К= ^*ТУ^* = (У4(Ф ггП)(е ггУНЯ'УсУД® ггП)(е гг)/Н) = = ((е гг)/Н)2(У4(ф ггН))т(® ггВ)) = = ((е гг)/Н)2((е ггИ)тУ4)т(ф гг В)) = = ((е гг)/Н)2((@ ггИ)тУ4(ф ггП» = 116 |