|
97 даемой доходности портфеля над доходностью безрисковых вложений. Таким образом, е гг = Ш где Н = (е г,1)т У1 Х(з г,-1) (2.2.38) Подставляя выраженное отсюда А в (2.2.34), получаем формулу для расчета весовых коэффициентов вложений в рискованные активы для эффективного портфеля ценных бумаг: е — г • = V1 Х(э гД) — ( 2 . 2 . 3 9 ) причем доля вложений в безрисковый портфель составляет \у ы+1. Рассчитаем теперь дисперсию и доходность такого портфеля: УагК = ^'тУ»у‘ = (V1 (5 гг1)(егг)Ш)тУ(Т‘ (е гг3)(е г,)/Н) = = ((е гг)/Н)2(У' (? ггЗ»т(е гДО = ((е г,-)/Н)2((е гЛт^‘)т(е г«3)) = = ((е гг)/Н)2((е г^У'Сз г,-!))= (е г,)2/Н (2.2.40) Отсюда следует, что все эффективные портфели представлены верхней ветвью параболы а2 = (е-гг)2/Н в плоскости "дисперсиядоходность”. Из (2.2.40) также следует, что е = гг + л/Нст (2.2.42) Уравнение (2.2.42) задает линейную границу эффективных портфелей, сформированных из N+1 актива, в плоскости (а, е) (рис. И.2.2.З.). Изображенная на рисунке гиперболою соответствует множеству эффективных портфелей, сформированных только из N рискованных активов. Можно показать, что прямая, задаваемая уравнением (2.2.42), касается гиперболы в некоторой точке X. Согласно (2.2.39), структура рискованной части портфеля, включающего N активов, не изменяется, если варьируется ожидаемая |
(4.30) N N , = 1 е ^ ) 2 . 1=1 1=1 Для минимизации дисперсии будем использовать функцию Лагранжа, которая выражается в векторной форме: П11П Ь = ” ^Уто + Х(е штс г^(1 штП)). (4.31) ад,А, 2 Имеем N+1 условий первого порядка: У*у М<В ггН) = ©, (4.32) е = ^т$ + ^ (1 ^ТЕ), (4.33) где © обозначает И-мерный ноль-вектор. Из (4.32) следует, что: ш = XV4 (ф ггП). (4.34) Умножим обе части уравнения (4.34) на вектор (ф г^П)1: ($ ггпу% = А(ф ггЕ)тУ4(® ггП). (4.35) Преобразуя уравнение (4.33) к виду ^т($ ггЕ) = е гг (4.36) и используя правило умножения векторов, получим: чя/т(ф ггП) = (® Гг1)тш = е гг. (4.37) Тогда левая часть уравнения (4.35) представляет собой ожидаемую премию за риск портфеля (е гг), равную превышению ожидаемой доходностью портфеля доходности безрисковых вложений. Таким образом, е гг= X Н, где Н = (в гсОугУ4^ ггП). (4.38) Подставляя выраженное отсюда X в (4.34)у получаем формулу для расчета весовых коэффициентов вложений в рискованные активы для эффективного портфеля ценных бумаг: = ’/4(« ггЕ) , (4.39) н причем доля вложений в безрисковый портфель составляет ^+1* = 1 ш*тП. Рассчитаем теперь дисперсию и доходность такого портфеля: Уаг К= ^*ТУ^* = (У4(Ф ггП)(е ггУНЯ'УсУД® ггП)(е гг)/Н) = = ((е гг)/Н)2(У4(ф ггН))т(® ггВ)) = = ((е гг)/Н)2((е ггИ)тУ4)т(ф гг В)) = = ((е гг)/Н)2((@ ггИ)тУ4(ф ггП» = 116 = (с ГГ)2/Н (4.40) Отсюда следует, что все эффективные портфели представлены верхней ветвью параболы а2 = (е гг)2/Н в плоскости “дисперсия-доходность”. Из (4.40) также следует, что (4.41) или (4.42) Уравнение (4.42) задает линейную границу эффективных портфелей, сформированных из N+1 актива, в плоскости (а, е) (рис.12). Изображенная на рисунке гипербола соответствует множеству эффективных портфелей, сформированных только из N рискованных активов. Можно показать, что прямая, задаваемая уравнением (4.42), касается гиперболы в некоторой точке X. Согласно (4.39), структура рискованной части портфеля, включающего N активов, не изменяется, если варьируется ожидаемая доходность портфеля из N+1 актива (е). Однако из (4.39) следует также, что ожидаемая доходность (е) однозначно задает значение суммы вложений в рискованные активы: X ^ • Поэтому увеличивая значения ожидаемой доходности (е) с минимального уровня, равного безрисковому проценту г**, можно найти единственное значение е*, при котором выполнено условие шт$=1. При этом портфель, состоящий из рискованных активов будет сбалансированным, то есть таким, что ничего не вкладывается и не занимается под фиксированный процент г^. Значение е* определяет однозначным образом такой рискованный портфель, рассчитываемый из условия (4.39). Тем самым показано, что линейная граница эффективных портфелей из N+1 актива касается гиперболы эффективных портфелей из N рискованных активов, причем ожидаемая доходность в точке касания равна е*. Полученный результат яачяется частным случаем более общего утверждения, известного как теорема о раздельном формировании портфелей ($ерага1юп ГЬеогеш). В данном случае получается, что любой эффективный портфель, сформированный из N рискованных активов и одного безрискового, формируется как портфель, состоящий из двух активов. Первый представлен портфелем из N рискованных активов, а второй безрисковым активом. Причем портфель из N рискованных активов N 117 |