|
115 <рг (л:) < 0, / = I е X ? (2.16) где X — заданное множество альтернатив; / (X) —>К —заданная функция, которую нужно максимизировать; <р, (X) —>/?заданные функции ограничений. При моделировании в нечеткой форме реальных задач принятия решений в распоряжении исследователя-математика могут оказаться лишь нечеткие описания функции / и <рь параметров, от которых зависят эти функции, и самого множества X . Таким образом, практически любая прикладная задача стандартного математического программирования может трансформироваться в задачу нечеткого математического программирования. В зависимости от ситуации, нечеткость в постановке задачи нечеткого математического иршраммирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании самой целевой функции, например: /(* ) -> шах, ё(х) <0, х в Х П \1\ В практике экономического анализа достаточно часто возникает проблема, связанная с применением точной теории оптимизации к неточным моделям, где нет оснований приводить точно определенные числа и где слишком часто появляются трудности вычислительного характера при описании больших систем. Нечеткую обстановку можно рассматривать как множество альтернатив X вместе с его нечеткими подмножествами, представляющими собой нечетко сформулированные критерии (цели и ограничения), т.е. как систему вида (X, f o . f i , Если принять во внимание все возможные критерии и ограничения в такой задаче, то целевая функция будет выглядеть следующим образом: я ^ /о П /.г и п л , (2.18) |
ГЛАВА 6. АЛГОРИТМЫ НЕЧЕТКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Характеристика задач нечеткого математического программирования Классическое математическое программирование и его разновидности в значительной степени нормативная методология эффективного выбора. Нечеткое же программирование выделяет естественную множественность неточно определенных целей, значений и ограничений. При этом оптимальность определяется и в терминах поведения, и как качество, присущее решению. Главная цель нечеткого математического программирования (НМП) помочь лицу, принимающему решение, разобраться в выдвинутых им допущениях. Нечеткий подход не подменяет собой простейшего анализа в поисках разумной точности. Он облегчает задачу лица, принимающего решения, позволяя ему не формулировать явно точные ограничения. Вот почему плодотворный обмен идеями между теорией нечетких множеств и классическим программированием может явиться значительным шагом к созданию новых методов. Стандартная задача нечеткого математического программирования формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств. Например: , где Х заданное множество альтернатив, и заданные функции. При моделировании в нечеткой форме реальных задач принятия решений в распоряжении исследователя математика могут оказаться лишь нечеткие описания функции f и ϕ, параметров, от которых зависят эти функции, да и самого множества Х. Таким образом, задача стандартного математического программирования превратится в задачу нечеткого математического программирования. Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования. Перечислим некоторые из таких постановок [179]. Задача 1. Максимизация заданной обычной функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив . Задача 2. Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования. Пусть определена следующая задача математического программирования: Нечеткий вариант этой задачи получается, если “смягчить” ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации функции f(х) можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции, причем различным отклонениям значения функции от этой величины приписывать различные степени допустимости. Задача 3. Нечетко описана “максимизируемая” функция, т.е. задано отображение ,где Х универсальное множество альтернатив, числовая ось. В этом случае функция при каждом фиксированном представляет собой нечеткое описание оценки результата выбора альтернативы (нечеткую оценку альтернативы ) или нечетко известную реакцию управляемой системы на управление . Задано так же нечеткое множество допустимых альтернатив . Задача 4. Заданы обычная максимизируемая функция и система ограничений вида , причем параметры в описаниях функций заданы в форме нечетких множеств. Задача 5. Нечетко описаны как параметры функций,определяющих ограничения задачи, так и самой максимизируемой функции. Рассмотрим, например подробнее задачу линейного программирования с нечёткими коэффициентами. Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции. (6.1) На практике часто сталкиваются с применением точной теории оптимизации к неточным моделям, где нет оснований писать точно определенные числа и где слишком часто появляются трудности вычислительного характера при описании больших систем. Нечеткую обстановку можно рассматривать как множество Х альтернатив вместе с его нечеткими подмножествами, представляющими собой нечетко сформулированные критерии (цели и ограничения), т.е. как систему (Х, f0, f1, ..., fn). Принять во внимание по возможности все критерии в такой задаче означает построить функцию D = f0 f1 ... fn, (6.2) в которую цели и ограничения входят одинаковым образом. Решение можно определить как нечеткое подмножество универсального множества альтернатив. Оптимум соответствует той области Х , элементы которой максимизируют D. Это и есть случай нечеткого математического программирования. Очевидно, неразумно в реальных ситуациях проводить резкую границу для множества допустимых альтернатив, поскольку может случится так, что распределения, лежащие за этой границей, дадут эффект, превышающий меньшую желательность для лица принимающего решения. |