1)7 других геометрий состоит в том, что вектор и квадрат его длины при изменении систем координат, связанных с одной сетью, меняются. Кроме того, матрицы преобразования координат-путей прямоугольны и (в отличие от других геометрий) не образуют группу, если при изменении структуры меняется число узлов в графе сети. Однако, для “связки” двойственных сетей вектор и квадрат его длины постоянны, а матрицы преобразования образуют цепочку (связанную с вычислением метрических матриц по структурным), которая играет роль группы в обычной геометрии. Матрицы преобразования базисов путей образуют группу. Отказ от узлов в качестве инварианта сети (по сравнению с графом) требует другого инварианта для поддержания алгебраической полноты такой системы. Таким инвариантом оказалось соотношение между матрицами преобразования путей, описывающих структуру, в двух двойственных сетях (в данной сети матрица преобразования обозначена как С, а в двойственной как А). Инвариант выражается соотношением, которое связывает матрицы преобразования двойственных сетей: С (С, С)’1 С, + А (А[ А)-1 А, = 1, (1) где I единичная матрица. Такая закономерность отличается от известной ортогональности матриц преобразования: Ct = (А/1 (их подматрицы представляют собой цикломатическую матрицу и матрицу разрезов из теории графов). Инвариант имеет вид (1) для единичных весов ветвей (метрических коэффициентов). Если веса нс единичны, то и метрическая матрица неединичная и соотношение (1) принимает более общий вид, включающий метрическую матрицу. Таким образом, эта закономерность связывает метрику и структуру в пространстве сети. Простейшая сеть с двойственной структурой это одна ветвь с замкнутой и разомкнутой частями. Каждая разомкнутая ветвь имеет два узла на концах, а каждая замкнутая один узел. Обозначим количество ветвей через п, узлов J, подсетей s, линейно независимых замкнутых |
158 абстрактная сложная система. Моделирование одних систем другими системами представляет собой преобразование систем относительно тензора. Каждая система сама имеет “проекции-компоненты” виде значении параметров процессо координатах, определяемых структурой элементов. При изменении структуры меняются компоненты тензора (параметры процессов) Преобразования параметро процессов от изменении координат-структуры обеспечивает новый, ранее неизвестный инвариант, который связывает матрицы преобразования путей л енных сетях. В обычной геометрии подразумевается, что векторы, площади, объемы и т.д. не меняются при изменении координат, меняются только значения их проекций, а объекты (вектор, квадрат длины вектора) постоянны, что позволяет вычислять их новой системе координат. Преобразования координат образуют группу [161-163]. Сети двойственны, если каждому замкнутому пути (контуру, циклу) в одной сети соответствует разомкнутый путь в другой сети, и наоборот. Преобразования структуры сетей двойственны, если каждому замыканию разомкнутого пути в одной сети соответствует размыкание контура в другой сети, и наоборот. Теория (геометрия) двойственных сетей возникла как абстрактное, аксиоматическое изложение найденных закономерностей прохождения потока в сетях при изменении их структуры. Отличие от других геометрий состоит в том, что вектор и квадрат его длины при изменении систем координат, связанных Л меняются. Кроме того, матрицы преобразования координат-путей прямоугольны и (в отличие от других геометрий) не образуют группу, если при изменении структуры меняется число узлов в графе сети. Однако для “связки” оиственных сетей вектор и квадрат его длины постоянны, а матрицы преобразования образуют цепочку (связанную с вычислением метрических матриц по структурным), которая играет роль группы в обычной геометрии. Матрицы преобразования базисов путей образуют группу. Отказ от узлов в качестве инварианта сети (по сравнению с графом) требует другого инварианта для поддержания алгебраической полноты такой системы. Таким инвариантом оказалось соотношение между матрицами преобразования путей, описывающих структуру, в двух двойственных сетях (в данной сети матрица преобразования обозначена как С, а в л; оиственнои как А). Инвариант выражается соотношением, которое связывает матрицы преобразования двойственных сетей: 159 -lC (Ct С)-1 Ct + A (At A)'1 At = I, (1) где I единичная матрица. Такая закономерность отличается от известной ортогональности матриц преобразования: Ct = (А)'1 (их подматрицы представляют собой цикломатическую матрицу и матрицу теории графов). Инвариант имеет вид (1) для единичных весов ветвей (метрических коэффициентов). Если веса не единичны, то и метрическая матрица неединичная, и соотношение (1) принимает более общий вид, включающий метрическую матрицу. Таким образом, эта закономерность связывает метрику и структуру в пространстве сети. Ниже (рис.3.1) представлен пример сети из четырех свободных ветвей и четырех связанных ветвей. Пути в сети из четырех свободных ветвей на рис.3.1б обозначены как ра, а пути юзанных принимают значения от 1 до 4, перечисляя все пути. В свободной сети пути совпадают направлением ветвей. Если выразить пути в связанной сети через пути в свободной сети, рь Са Ра, то коэффициенты при путях-ветвях имеют вид матрицыь преобразования Сьа: b а Сь Pl Р2 Рз Р4 1 1 -1 1 1 1 -1 а Сь а это матрица путей в сети отдельных, свободных ветвей в пути в сети связанных ветвей. Обратное выражение путей в связанной сети через пути свободных ветвей, т.е. фактически через ветви, а также их матрица преобразования, имеют вид: В А Pl = bi = Р2' Pi Р2 = ь2 = Pi' с? = р2 Рз = Ьз = -Pi' + р2 + рз' Рз Р4 = Ь4 = -Pi' + р2' + Рз' Р4' Р4 pa “ a Pb J J m m 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 |