|
У этой кривой одна общая точка с прямой и и0 , если и0 < р или и0 >ос, и три общие точки , если (3<и0 < ос. Кривая Г делит плоскость на две части. Пусть в верхней части функция / ( х , и ) принимает отрицательные значения, а в нижней — положительные. Изучим уравнение ^ = / ( х , м ) (1.14) at с медленным управлением и = и (t). Если u ( t ) =uQ, то уравнение ( 1.14) описывает движение точки по вертикальной прямой и =и0; направление движения на одной из таких прямых показано на рис. 1.3 стрелками. Точки пересечения прямой и и 0 и кривой Г будут состояниями равновесия; штриховой линией показана часть кривой Г, состоящая из неустойчивых точек равновесия, а сплошной линией из асимптотически устойчивых; эта сплошная линия состоит из графиков Гj и Г2 некоторых функций У\{и) и у2 (и). Указанной информации достаточно, чтобы описать качественное поведение решений x { t ) уравнения (1.14) при медленно меняющемся управлении u ( t ) ( / > /0 ). После короткого промежутка времени (которым можно пренебречь ) точка ( w ( / ) , x ( / ) } попадает, вообще говоря, в столь малую окрестность либо точки { u ( t ) , y x[ г/ ( 7) ]}, либо точки {и (t ), у2 [ и ( О ]} > что ее можно считать совпадающей либо с { u( t ) , ух[ м( О ]}, либо с ( м ( / ) , у 2 [м(/)]}. Пусть для определенности u ( t x) Если u ( t 2 ) —a и u ( t ) в точке t2 растет, то за короткое время (т.е. за такой промежуток времени, на котором и ( t ) мало меняется) точка ( м ( / ) , х ( / ) } попадет уже в малую окрестность кривой 20 |
27 У этой кривой одна общая точка с прямой и =и0, если и0< р или и0 >а, и три общие точки, если Р<и0<а. Кривая Г делит плоскость на две части. Пусть в верхней части функция / ( х , и ) принимает отрицательные значения, а в нижней положительные. Изучим уравнение cbc , =f ( x , u ) at (1.22) с медленным управлением u =u(t). Если u ( t ) =u0, то уравнение (1.22) описывает движение точки по вертикальной прямой и =и0; направление движения на одной из таких прямых показано на рис. 1.3 стрелками. Точки пересечения прямой и =и0 и кривой Г будут состояниями равновесия; штриховой линией показана часть кривой Г, состоящая из неустойчивых точек равновесия, а сплошной линиеи из асимптотически устойчивых; эта сплошная линия состоит из графиков Г, и Г2 некоторых функций у, ( и) и у2( и). Указанной информации достаточно, чтобы описать качественное поведение решений * ( /) уравнения (1.22) при медленно меняющемся управлении u ( t ) (t >/0 ). После короткого промежутка времени (которым можно пренебречь) точка {**(/),*(/)} попадает, вообще говоря, в столь малую окрестность либо точки { u { t ), yt [w(0]}, либо точки {и(/),у2[ц(0]}> что ее можно считать совпадающей либо с {и ( t ) , у, [и (/) ]}, либо с {м(т),у2[м(^)]}. Пусть для определенности и (t{) < а и х ( /j)« у,[ и (7j) ]; тогда при дальнейших значениях t е ( ц ,t2 ) , при которых u ( t ) < а , точка {м(7),*(0} не выходит из малой окрестности кривой Ц, можно считать выполненным равенство х Если u(t2 ) =а и и (t) в точке t2 растет, то за короткое время (т. е. За такой промежуток времени, на котором и (t) мало меняется) точка {u(t) , x ( t ) } попадет уже в малую окрестность кривой Г2, можно считать выполненным |